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最大公約数と最小公倍数

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今回の問題は「最大公約数と最小公倍数」です。

問題次の各組の最大公約数と最小公倍数をそれぞれ求めよ。$${\small (1)}~75~,~105$$$${\small (2)}~42~,~78~,~273$$

 

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最大公約数と最小公倍数

Point:最大公約数と最小公倍数例えば \(24~,~60\) について、
それぞれ素因数分解すると、$$~~~24=2^3\times3$$$$~~~60=2^2\times3\times5$$ここで、素因数の種類は、$$~~~2~,~3~,~5$$この3種類があり、もとの2数をこれらをすべて用いてかけ算されている数を指数を用いて表すと、$$~~~24=2^3\times3^1\times5^0$$$$~~~60=2^2\times3^1\times5^1$$(ここで、\(5^0=1\) に注意
 
最大公約数は、
素因数のうち、指数が小さいものを選んでかけ算
となるので、$$~~~~~~2^2\times3^1\times5^0$$$$~=4\times3\times1$$$$~=12$$よって、最大公約数 \(12\) となります。
 
最小公倍数は、
素因数のうち、指数が大きいものを選んでかけ算
となるので、$$~~~~~~2^3\times3^1\times5^1$$$$~=8\times3\times5$$$$~=120$$よって、最小公倍数 \(120\) となります。

 

問題解説:最大公約数と最小公倍数

問題解説(1)

問題次の各組の最大公約数と最小公倍数をそれぞれ求めよ。$${\small (1)}~75~,~105$$

それぞれ素因数分解すると、$$\hspace{ 14 pt}75=3\times5^2$$$$\hspace{ 10 pt}105=3\times5\times7$$それぞれの素因数を用いて表すと、$$\hspace{ 14 pt}75=3^1\times5^2\times7^0$$$$\hspace{ 10 pt}105=3^1\times5^1\times7^1$$
よって、最大公約数は「素因数のうち、指数が小さいものを選んでかけ算」するので、$$~~~~~~3^1\times5^1\times7^0$$$$~=3\times5\times1$$$$~=15$$
また、最小公倍数は「素因数のうち、指数が大きいものを選んでかけ算」するので、$$~~~~~~3^1\times5^2\times7^1$$$$~=3\times25\times7$$$$~=525$$
したがって、
最大公約数は \(15\)
最小公倍数は \(525\)
となります。

 

問題解説(2)

問題次の各組の最大公約数と最小公倍数をそれぞれ求めよ。$${\small (2)}~42~,~78~,~273$$

それぞれを素因数分解すると、$$\hspace{ 14 pt}42=2\times3\times7$$$$\hspace{ 14 pt}78=2\times3\times13$$$$\hspace{ 10 pt}273=3\times7\times13$$それぞれの素因数を用いて表すと、$$\hspace{ 14 pt}42=2^1\times3^1\times7^1\times13^0$$$$\hspace{ 14 pt}78=2^1\times3^1\times7^0\times13^1$$$$\hspace{ 10 pt}273=2^0\times3^1\times7^1\times13^1$$
よって、最大公約数は「素因数のうち、指数が小さいものを選んでかけ算」するので、$$~~~~~~2^0\times3^1\times7^0\times13^0$$$$~=1\times3\times1\times1$$$$~=3$$
また、最小公倍数は「素因数のうち、指数が大きいものを選んでかけ算」するので、$$~~~~~~2^1\times3^1\times7^1\times13^1$$$$~=2\times3\times7\times13$$$$~=546$$
したがって、
最大公約数は \(3\)
最小公倍数は \(546\)
となります。

 

今回のまとめ

数の大きいものや3つの数に対しての最大公約数と最小公倍数を求めるときは、素因数の種類に着目して与えられたかずを素因数分解して考えましょう。

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