Twitterフォローよろしくお願いします!

2次関数とx軸との交点の条件

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「2次関数とx軸との交点の条件」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の2次関数が \(x\) 軸と2点で交わるとき、\(k\) の値の範囲を求めよ。$$~~~y=x^2-(2k-1)x+k^2$$\({\small (2)}\) 次の2次関数が \(x\) 軸と接するとき、\(k\) の値と接点の座標を求めよ。$$~~~y=x^2-2kx+7k-6$$

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

2次関数とx軸との交点の条件

Point:2次関数とx軸との交点の条件2次関数 \(y=ax^2+bx+c\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解の値となります。
よって、2次方程式の解の判別式を \(D\) とすると、
( ⅰ ) \(x\) 軸と2点で交わるとき

2次方程式の解が2個となるので、

$$D>0$$

これが条件となります。
 
( ⅱ ) \(x\) 軸と接するとき(交点が1個)

2次方程式の解が1個(重解)となるので、

$$D=0$$

これが条件となります。
 
( ⅲ ) \(x\) 軸と交わらないとき

2次方程式の解なしとなるので、

$$D<0$$

これが条件となります。

 

問題解説:2次関数とx軸との交点の条件

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の2次関数が \(x\) 軸と2点で交わるとき、\(k\) の値の範囲を求めよ。$$~~~y=x^2-(2k-1)x+k^2$$

\(x\) 軸と2点で交わることより、$$~~~x^2-(2k-1)x+k^2=0$$この2次方程式の判別式 \(D\) が \(D>0\) となればよい。
よって、$$\hspace{ 10 pt}D=\{-(2k-1)\}^2-4\cdot1\cdot k^2$$$$\hspace{ 20 pt}=(2k-1)^2-4k^2$$$$\hspace{ 20 pt}=4k^2-4k+1-4k^2$$$$\hspace{ 20 pt}=-4k+1$$条件 \(D>0\) より、$$\hspace{ 10 pt}-4k+1>0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-4k>-1$$両辺を \(-4\) で割ると、不等号の向きが逆になるので、$$\hspace{ 10 pt}k<\frac{-1}{-4}$$$$\hspace{ 10 pt}k<\frac{1}{4}$$よって、答えは$$~~~k<\frac{1}{4}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}\) 次の2次関数が \(x\) 軸と接するとき、\(k\) の値と接点の座標を求めよ。$$~~~y=x^2-2kx+7k-6$$

\(x\) 軸と接することより、$$~~~x^2-2kx+7k-6=0~~~\cdots{\Large ①}$$この2次方程式の判別式 \(D\) が \(D=0\) となればよい。
よって、$$\hspace{ 10 pt}D=(-2k)^2-4\cdot1\cdot(7k-6)$$$$\hspace{ 20 pt}=4k^2-4(7k-6)$$$$\hspace{ 20 pt}=4k^2-28k+24$$条件 \(D=0\) より、$$\hspace{ 10 pt}4k^2-28k+24=0$$両辺を \(4\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}k^2-7k+6=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(k-1)(k-6)=0$$よって、$$~~~~~k=1~,~6$$となります。
 
( ⅰ ) \(k=1\) のとき
①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2-2\cdot1\cdot x+7\cdot1-6=0$$$$\hspace{ 43 pt}x^2-2x+7-6=0$$$$\hspace{ 60 pt}x^2-2x+1=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x-1)^2=0$$よって、\(x-1=0\) より、解は$$~~~x=1$$となります。
 
( ⅱ ) \(k=6\) のとき
①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2-2\cdot6\cdot x+7\cdot6-6=0$$$$\hspace{ 32 pt}x^2-12x+42-6=0$$$$\hspace{ 50 pt}x^2-12x+36=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x-6)^2=0$$よって、\(x-6=0\) より、解は$$~~~x=6$$となります。
 
よって、答えは$$~~~k=1~,~x=1$$または$$~~~k=6~,~x=6$$となります。

 

今回のまとめ

2次関数と \(x\) 軸との交点の個数が条件として与えられたときは、その2次関数を2次方程式とした判別式 \(D\) の条件を用いて解きましょう。

【問題一覧】数学Ⅰ:2次関数
このページは「高校数学Ⅰ:2次関数」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないと...