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2次方程式の文章問題

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今回の問題は「2次方程式の文章問題」です。

問題ある正方形について、1辺の長さを \(3\) だけ長しくて、もう1辺の長さを \(2\) だけ長くした長方形の面積はもとの正方形の面積の2倍となる。このとき、もとの正方形の1辺の長さを求めよ。

 

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2次方程式の文章問題

Point:2次方程式の文章問題解法の手順は、
求めたい値を \(x\) として考えます。このとき、\(x\) の値の範囲に注意しましょう。
② 条件より、図を描いて条件式を作ります。
③ 条件式を解き、\(x\) の値を求めます。このとき、①で定めた \(x\) の範囲を満たすか確認しましょう。

 

問題解説:2次方程式の文章問題

問題ある正方形について、1辺の長さを \(3\) だけ長しくて、もう1辺の長さを \(2\) だけ長くした長方形の面積はもとの正方形の面積の2倍となる。このとき、もとの正方形の1辺の長さを求めよ。

この正方形の1辺の長さを \(x\) とすると、長さの条件より、$$~~~x>0~~~\cdots{\large ①}$$となります。
この正方形は次の図のようになります。

この面積は、$$~~~x\times x=x^2$$となります。
 
また、1辺の長さを \(3\) だけ長しくて、もう1辺の長さを \(2\) だけ長くした長方形は、次の図のようになります。

この長方形の面積は、$$~~~(x+3)(x+2)$$となります。
これがもとの正方形の面積 \(x^2\) の2倍と等しくなるので、$$\hspace{ 10 pt}(x+3)(x+2)=2x^2$$左辺を展開すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+5x+6=2x^2$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+5x+6-2x^2=0$$$$\hspace{ 30 pt}-x^2+5x+6=0$$両辺に \(-1\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}x^2-5x-6=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x-6)(x+1)=0$$よって、$$\hspace{ 10 pt}x=6~,~-1$$ここで、①の \(x>0\) であることより答えは$$~~~x=6$$となります。

 

今回のまとめ

2次方程式の文章問題で図形を扱う場合は、長さの条件より、\(x\) の範囲が決まることに注意して解いていきましょう。

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