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解が与えられた2次方程式

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今回の問題は「解が与えられた2次方程式」です。

問題次の2次方程式の解の1つが \(x=2\) であるとき、\(k\) の値ともう1つの解を求めよ。$$~~~2x^2+(k+2)x+2k=0$$

 

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解が与えられた2次方程式の解法

Point:解が与えられた2次方程式2次方程式の1つの解が与えられたときは、
その解 \(x=\alpha\) を2次方程式に代入した式を条件式とします。
② 条件式を解き、未知数となっている係数の値を求めます。
③ 求めた係数の値を2次方程式に当てはめて、できた2次方程式から他の解を求めます。

 

問題解説:解が与えられた2次方程式

問題次の2次方程式の解の1つが \(x=2\) であるとき、\(k\) の値ともう1つの解を求めよ。$$~~~2x^2+(k+2)x+2k=0$$

$$\hspace{ 10 pt}2x^2+(k+2)x+2k=0~~~\cdots{\large ①}$$解が \(x=2\) であることより、①に代入しても成り立つので、$$\hspace{ 10 pt}2\cdot2^2+(k+2)\cdot2+2k=0$$$$\hspace{ 43 pt}8+2k+4+2k=0$$$$\hspace{ 78 pt}4k+12=0$$移項して両辺を \(4\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}4k=-12$$$$\hspace{ 15 pt}k=-3$$
次に、これを①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}2x^2+(-3+2)x+2\cdot(-3)=0$$$$\hspace{ 76 pt}2x^2-x-6=0$$左辺を因数分解すると、たすき掛けの表より、
$$\hspace{ 10 pt}(2x+3)(x-2)=0$$よって、\(2x+3=0\) より、$$\hspace{ 10 pt}2x+3=0$$移項して、両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}2x=-3$$$$\hspace{ 15 pt}x=-\frac{3}{2}$$
したがって、答えは$$~~~k=-3~,~x=-\frac{3}{2}$$となります。

 

今回のまとめ

解が与えられた2次方程式の解法は、与えられた解の値の使い方と解法の手順をしっかりと覚えておきましょう。

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