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2次方程式の解の条件

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今回の問題は「2次方程式の解の条件」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の2次方程式が2つの実数解をもつとき、\(k\) の値の範囲を求めよ。$$~~~y=x^2-2x+k-2$$\({\small (2)}\) 次の2次方程式が重解をもつとき、\(k\) の値を求めよ。$$~~~4x^2-12x+2k+5=0$$

 

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2次方程式の解の条件

Point:タイトル問題文より、用いる条件式を選択できるようになりましょう。
与えられた2次方程式の判別式を \(D\) とするとき、
( ⅰ ) 異なる2つの実数解をもつ
\(~\Leftrightarrow~\) \(D>0\)
 
( ⅱ ) 重解をもつ
\(~\Leftrightarrow~\) \(D=0\)
 
( ⅲ ) 解なし
\(~\Leftrightarrow~\) \(D<0\)
となります。

 

問題解説:2次方程式の解の条件

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の2次方程式が2つの実数解をもつとき、\(k\) の値の範囲を求めよ。$$~~~y=x^2-2x+k-2$$

2つの実数解をもつことより、この2次方程式の判別式 \(D\) が \(D>0\) となります。
よって、判別式 \(D\) は、$$\hspace{ 10 pt}D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(k-2)$$$$\hspace{ 20 pt}=4-4(k-2)$$$$\hspace{ 20 pt}=4-4k+8$$$$\hspace{ 20 pt}=12-4k$$ここで、\(D>0\) より、$$\hspace{ 10 pt}12-4k>0$$$$\hspace{ 26 pt}-4k>-12$$両辺を \(-4\) で割ると、不等号の向きが逆になるので、$$\hspace{ 16 pt}k<\frac{-12}{-4}$$$$\hspace{ 16 pt}k<3$$よって、答えは$$~~~k<3$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}\) 次の2次方程式が重解をもつとき、\(k\) の値を求めよ。$$~~~4x^2-12x+2k+5=0$$

重解をもつことより、この2次方程式の判別式 \(D\) が \(D=0\) となります。
よって、判別式 \(D\) は、$$\hspace{ 10 pt}D=(-12)^2-4\cdot4\cdot(2k+5)$$$$\hspace{ 20 pt}=144-16(2k+5)$$$$\hspace{ 20 pt}=144-32k-80$$$$\hspace{ 20 pt}=64-32k$$ここで、\(D=0\) より、$$\hspace{ 10 pt}64-32k=0$$移項して、両辺を \(-32\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}-32k=-64$$$$\hspace{ 28 pt}k=\frac{-64}{-32}$$$$\hspace{ 28 pt}k=2$$よって、答えは$$~~~k=2$$となります。

 

今回のまとめ

2次方程式の解の個数の条件から、判別式 \(D\) の条件式を作れるようになりましょう。

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