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2次方程式の解の個数

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今回の問題は「2次方程式の解の個数」です。

問題次の2次方程式の解の個数を調べよ。$${\small (1)}~x^2-5x+9=0$$$${\small (2)}~9^2-12x+4=0$$$${\small (3)}~2x^2-3x+1=0$$

 

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2次方程式の解の個数と判別式

Point:2次方程式の解の個数2次方程式$$~~~ax^2+bx+c=0$$の解の個数は、判別式 \(D\) が次の式となるとき、

$$D=b^2-4ac$$

これを用いて、
( ⅰ ) \(D>0\) のとき
\(~\Leftrightarrow~\) 異なる2つの実数解をもつ
 
( ⅱ ) \(D=0\) のとき
\(~\Leftrightarrow~\) 重解をもつ
 
( ⅲ ) \(D<0\) のとき
\(~\Leftrightarrow~\) 解なし
となります。

 

問題:2次方程式の解の個数

問題解説(1)

問題次の2次方程式の解の個数を調べよ。$${\small (1)}~x^2-5x+9=0$$

判別式を \(D\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}D=(-5)^2-4\cdot1\cdot9$$$$\hspace{ 20 pt}=25-36$$$$\hspace{ 20 pt}=-11$$よって、\(D<0\) となるので、この2次方程式は解なしとなります。

 

問題解説(2)

問題次の2次方程式の解の個数を調べよ。 $${\small (2)}~9^2-12x+4=0$$

判別式を \(D\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}D=(-12)^2-4\cdot9\cdot4$$$$\hspace{ 20 pt}=144-144$$$$\hspace{ 20 pt}=0$$よって、\(D=0\) となるので、この2次方程式は重解をもちます。

 

問題解説(3)

問題次の2次方程式の解の個数を調べよ。 $${\small (3)}~2x^2-3x+1=0$$

判別式を \(D\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}D=(-3)^2-4\cdot2\cdot1$$$$\hspace{ 20 pt}=9-8$$$$\hspace{ 20 pt}=1$$よって、\(D>0\) となるので、この2次方程式は異なる2つの実数解をもちます。

 

今回のまとめ

判別式 \(D\) は2次方程式の解の個数の判別だけでなく、2次関数のグラフでも出てくる重要な式となります。計算方法と条件をしっかりと覚えておきましょう。

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