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2次方程式の解

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今回の問題は「2次方程式の解」です。

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (1)}~x^2-4x-5=0$$$${\small (2)}~2x^2+5x-3=0$$$${\small (3)}~2x^2-5x+1=0$$$${\small (4)}~x^2-4x+1=0$$

 

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2次方程式の解の求め方

Point:2次方程式の解2次方程式$$~~~ax^2+bx+c=0$$の解の求め方は、
( ⅰ ) 左辺が因数分解できる場合$$~~~(x-\alpha)(x-\beta)=0$$と因数分解できると、解は$$~~~x=\alpha~,~\beta$$となります。
 
( ⅱ ) 因数分解できない場合
解の公式を用いると、

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

となります。

 

問題解説:2次方程式の解

問題解説(1)

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (1)}~x^2-4x-5=0$$

$$~~~x^2-4x-5=0$$左辺を因数分解すると、$$~~~(x+1)(x-5)=0$$$$\hspace{ 65 pt}x=-1~,~5$$よって、答えは$$~~~x=-1~,~5$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (2)}~2x^2+5x-3=0$$

$$~~~2x^2+5x-3=0$$左辺をす因数分解ると、たすき掛けの表より、
$$~~(2x-1)(x+3)=0$$\(2x-1=0\) より、$$\hspace{ 10 pt}2x-1=0$$移項して、両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}2x=1$$$$\hspace{ 15 pt}x=\frac{1}{2}$$また、\(x+3=0\) より、$$\hspace{ 10 pt}x+3=0$$$$\hspace{ 27 pt}x=-3$$よって、答えは$$~~~x=\frac{1}{2}~,~-3$$となります。

 

問題解説(3)

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (3)}~2x^2-5x+1=0$$

左辺が因数分解できないので、解の公式を用いると、$$\hspace{ 10 pt}x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot2\cdot1}}{2\cdot2}$$$$\hspace{ 18 pt}=\frac{5\pm\sqrt{25-8}}{4}$$$$\hspace{ 18 pt}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$$よって、答えは$$~~~x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$$となります。

 

問題解説(4)

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (4)}~x^2-4x+1=0$$

左辺が因数分解できないので、解の公式を用いると、$$\hspace{ 10 pt}x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}$$$$\hspace{ 18 pt}=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}$$$$\hspace{ 18 pt}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}$$$$\hspace{ 18 pt}=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}$$分子の各項をそれぞれ \(2\) で割ると、$$\hspace{ 18 pt}=2\pm\sqrt{3}$$よって、答えは$$~~~x=2\pm\sqrt{3}$$となります。

 

今回のまとめ

2次方程式の解の求め方は、因数分解できるかできないかで解法が変わってきます。解の公式も使えるように練習しておきましょう。

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