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定義域が変化する2次関数の最大値・最小値

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今回の問題は「定義域が変化する2次関数の最大値・最小値」です。

問題\(a\) を正の定数とするとき、次の2次関数の最大値と最小値を求めよ。$$~~~y=x^2-4x+3~~~(0≦x≦a)$$

 

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定義域の片側が変化する2次関数

Point:定義域の片側が変化する2次関数軸の方程式が \(x=p\) で、定義域が$$~~~0≦x≦a$$となり、\(a\) の値を変化するとき、

グラフより、\(x=0\) のときと同じ\(y\) の値をとる \(x=t\) を対称性より求めます。
3点 \(0~,~p~,~t\) より、変数 \(a\) がどの位置にあるかで場合分けをして考えましょう。

 

問題解説:定義域が変化する2次関数の最大値・最小値

問題\(a\) を正の定数とするとき、次の2次関数の最大値と最小値を求めよ。$$~~~y=x^2-4x+3~~~(0≦x≦a)$$

与えられた2次関数を平方完成すると、$$\hspace{ 10 pt}y=x^2-4x+3$$$$\hspace{ 18 pt}=x^2-4x+4-4+3$$$$\hspace{ 18 pt}=(x-2)^2-1$$よって、頂点の座標が$$~~~(2~,~-1)$$となります。

定義域の端 \(0\) と軸 \(x=2\) より、\(x=0\) のときと \(y\) 座標が同じになるのは、対称性より \(x=4\) となります。
よって、\(x=0~,~2~,~4\) で4つの範囲に分けると、

 
(1) \(0 < a < 2\) のとき、

グラフより、
\(x=0\) で最大値、\(x=a\) で最小値となります。
 
(2) \(2≦a < 4\) のとき、

グラフより、
\(x=0\) で最大値、\(x=2\) で最小値となります。
 
(3) \(a=4\) のとき、

グラフより、
\(x=0~,~a\) で最大値、\(x=2\) で最小値となります。
 
(4) \(a>4\) のとき、

グラフより、
\(x=a\) で最大値、\(x=2\) で最小値となります。
 
以上より、表にまとめると、

(1) (2) (3) (4)
最大値 \(0 < a < 4\)
\(x=0\)
\(a=4\)
\(x=0~,~a\)
\(a>4\)
\(x=a\)
最小値 \(0 < a < 2\)
\(x=a\)
\(a≧2\)
\(x=2\)

したがって、最大値は、
( ⅰ ) \(0 < a < 4\) のとき
\(x=0\) で最大値となり、そのときの \(y\) の値は、$$\hspace{ 10 pt}y=0^2-4\cdot0+3=3$$( ⅱ ) \(a=4\) のとき
\(x=0~,~a\) で最大値となり、その値は \(3\)
( ⅲ ) \(a>4\) のとき
\(x=a\) で最大値となり、そのときの \(y\) の値は、$$\hspace{ 10 pt}y=a^2-4a+3$$
 
また、最小値は、
( ⅰ ) \(0 < a < 2\) のとき
\(x=a\) で最小値となり、そのときの \(y\) の値は、$$\hspace{ 10 pt}y=a^2-4a+3$$( ⅱ ) \(a≧2\) のとき
\(x=2\) で最小値となり、そのときの \(y\) の値は頂点の \(y\) 座標より 、 \(-1\)
 
したがって、答えは
最大値が
( ⅰ ) \(0 < a < 4\) のとき$$~~~3~~~(x=0)$$( ⅱ ) \(a=4\) のとき$$~~~3~~~(x=0~,~a)$$( ⅲ ) \(a>4\) のとき$$~~~a^2-4a+3~~~(x=a)$$最小値が
( ⅰ ) \(0 < a < 2\) のとき$$~~~a^2-4a+3~~~(x=a)$$( ⅱ ) \(a≧2\) のとき$$~~~-1~~~(x=2)$$となります。

 

今回のまとめ

定義域が変化する2次関数の最大値・最小値でも場合分けが重要となります。軸と定義域より、場合分けができるようになりましょう。

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