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2次関数の決定①(頂点)

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今回の問題は「2次関数の決定①(頂点)」です。

問題次の条件を満たす2次関数を求めよ。
\({\small (1)}~\)頂点が \((2,3)\) で、点 \((1,5)\) を通る。
\({\small (2)}~\)軸が \(x=1\) で、2点 \((2,4)~,~(-1,1)\) を通る。

 

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頂点が条件の2次関数の決定

Point:2次関数の決定頂点 \((p,q)\) や軸 \(x=p\) が与えられた2次関数は、

$$y=a(x-p)^2+q$$

とおきます。
また、通る点については、その点の座標を代入した式を条件式としましょう。

 

問題解説:2次関数の決定①(頂点)

問題解説(1)

問題次の条件を満たす2次関数を求めよ。
\({\small (1)}~\)頂点が \((2,3)\) で、点 \((1,5)\) を通る。

頂点が \((2,3)\) より、求める2次関数を$$~~~y=a(x-2)^2+3~~~\cdots{\large ①}$$とおきます。
また、点 \((1,5)\) を通ることより、①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}5=a(1-2)^2+3$$$$\hspace{ 10 pt}5=a(-1)^2+3$$$$\hspace{ 10 pt}5=a+3$$両辺を入れ替えて、移項すると、$$\hspace{ 10 pt}a+3=5$$$$\hspace{ 28 pt}a=5-3$$$$\hspace{ 28 pt}a=2$$①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}y=2(x-2)^2+3$$よって、答えは \(y=2(x-2)^2+3\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の条件を満たす2次関数を求めよ。
\({\small (2)}~\)軸が \(x=1\) で、2点 \((2,4)~,~(-1,1)\) を通る。

軸が直線 \(x=1\) より、求める2次関数を$$~~~y=a(x-1)^2+q~~~\cdots{\large ①}$$とおきます。
点 \((2,4)\) を通ることより、①に座標を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}4=a(2-1)^2+q$$$$\hspace{ 10 pt}4=a\cdot 1^2+q$$$$\hspace{ 10 pt}4=a+q$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}a+q=4~~~\cdots②$$
点 \((-1,1)\) を通ることより、①に座標を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}1=a(-1-1)^2+q$$$$\hspace{ 10 pt}1=a\cdot(-2)^2+q$$$$\hspace{ 10 pt}1=4a+q$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}4a+q=1~~~\cdots③$$
③−②より、$$\hspace{ 10 pt}(4a+q)-(a+q)=1-4$$$$\hspace{ 26 pt}4a+q-a-q=-3$$$$\hspace{ 78 pt}3a=-3$$$$\hspace{ 84 pt}a=-1$$
②に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}-1+q=4$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}q=4+1$$$$\hspace{ 18 pt}=5$$以上より、①に代入すると、$$~~~y=-(x-1)^2+5$$よって、答えは \(y=-(x-1)^2+5\) となります。

 

今回のまとめ

頂点や軸が与えられたときの2次関数のグラフこ方程式は、代入する2次関数の式の形と点の条件を覚えておきましょう。

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