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グラフの対称移動

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今回の問題は「グラフの対称移動」です。

問題放物線 \(y=2x^2-5x+1\) のグラフを次のように移動させた放物線の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(x\) 軸に対して対称移動
\({\small (2)}~\)\(y\) 軸に対して対称移動
\({\small (3)}~\)原点に対して対称移動

 

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グラフの対称移動

Point:タイトル2次関数 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフについて、

\(x\) 軸に対して対称移動
\(x\) 軸に対して対称移動すると、\(y\to-y\) となるのでグラフは次のようになります。

$$-y=ax^2+bx+c$$

\(y\) 軸に対して対称移動
\(y\) 軸に対して対称移動すると、\(x\to-x\) となるのでグラフは次のようになります。

$$y=a(-x)^2+b(-x)+c$$

原点に対して対称移動
原点に対して対称移動すると、\(x\to-x~,~y\to-y\) となるのでグラフは次のようになります。

$$-y=a(-x)^2+b(-x)+c$$

 

問題解説:グラフの対称移動

問題解説(1)

問題放物線 \(y=2x^2-5x+1\) のグラフを次のように移動させた放物線の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(x\) 軸に対して対称移動

\(x\) 軸に対して対称移動するので、\(y\to-y\) と代入すると、$$\hspace{ 10 pt}-y=2x^2-5x+1$$$$\hspace{ 18 pt}y=-2x^2+5x-1$$よって、答えは \(y=-2x^2+5x-1\) となります。

 

問題解説(2)

問題放物線 \(y=2x^2-5x+1\) のグラフを次のように移動させた放物線の方程式を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(y\) 軸に対して対称移動

\(y\) 軸に対して対称移動するので、\(x\to-x\) と代入すると、$$\hspace{ 10 pt}y=2(-x)^2-5(-x)+1$$$$\hspace{ 10 pt}y=2x^2+5x+1$$よって、答えは \(y=2x^2+5x+1\) となります。

 

問題解説(3)

問題放物線 \(y=2x^2-5x+1\) のグラフを次のように移動させた放物線の方程式を求めよ。
\({\small (3)}~\)原点に対して対称移動

原点に対して対称移動するので、\(x\to-x~,~y\to-y\) と代入すると、$$\hspace{ 10 pt}-y=2(-x)^2-5(-x)+1$$$$\hspace{ 10 pt}-y=2x^2+5x+1$$$$\hspace{ 18 pt}y=-2x^2-5x-1$$よって、答えは \(y=-2x^2-5x-1\) となります。

 

今回のまとめ

対称移動後のグラフを求める問題は、グラフよりどのように変化するかを捉えて問題を解いていきましょう。

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