Twitterフォローよろしくお願いします!

2次関数の決定②(3点を通る)

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「2次関数の決定②(3点を通る)」です。

問題3点 \((1,3)\) \(,\) \((2,3)\) \(,\) \((3,1)\) を通る2次関数を求めよ。

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

3点を通る2次関数の決定

Point:2次関数の決定3点の座標が与えられた2次関数は、

$$y=ax^2+bx+c$$

この式に3点の座標を代入した3つの式より、\(a,b,c\) を求めます。

Point:連立3元1次方程式

\(a,b,c\) についての3つの1次方程式の解き方は、
① \(a,b,c\) のうち消しやすい文字を消して、2つの2元1次方程式を作ります。
② これを連立方程式として解きます。
はじめに消去した文字の値も求めます。

 

問題解説

問題3点 \((1,3)\) \(,\) \((2,3)\) \(,\) \((3,1)\) を通る2次関数を求めよ。

求める2次関数を$$~~~y=ax^2+bx+c$$とすると、
点 \((1,3)\) を通ることより、点の座標を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}3=a\cdot 1^2+b\cdot 1 +c$$$$\hspace{ 10 pt}3=a+b+c$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}a+b+c=3~~~\cdots{\large ①}$$
点 \(2,3)\) を通ることより、点の座標を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}3=a\cdot 2^2+b\cdot 2 +c$$$$\hspace{ 10 pt}3=4a+2b+c$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}4a+2b+c=3~~~\cdots{\large ②}$$
点 \((3,1)\) を通ることより、点の座標を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}1=a\cdot 3^2+b\cdot 3 +c$$$$\hspace{ 10 pt}1=9a+3b+c$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}9a+3b+c=1~~~\cdots{\large ③}$$
ここで、②−①より、$$\hspace{ 10 pt}(4a+2b+c)-(a+b+c)=3-3$$$$\hspace{ 25 pt}4a+2b+c-a-b-c=0$$左辺を整理すると、$$\hspace{ 10 pt}3a+b=0~~~\cdots④$$
また、③−①より、$$\hspace{ 10 pt}(9a+3b+c)-(a+b+c)=1-3$$$$\hspace{ 26 pt}9a+3b+c-a-b-c=-2$$左辺を整理すると、$$\hspace{ 10 pt}8a+2b=-2$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}4a+b=-1~~~\cdots⑤$$

次に、⑤−④より、$$\hspace{ 10 pt}(4a+b)-(3a+b)=-1-0$$$$\hspace{ 26 pt}4a+b-3a-b=-1$$左辺を整理すると、$$\hspace{ 10 pt}a=-1$$これを④に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}3\cdot(-1)+b=0$$$$\hspace{ 30 pt}-3+b=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}b=3$$これらを①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}-1+3+c=3$$$$\hspace{ 35 pt}2+c=3$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}c=3-2$$$$\hspace{ 10 pt}c=1$$
したがって、\(y=ax^2+bx+c\) に代入すると、$$~~~y=-x^2+3x+1$$となります。

 

今回のまとめ

通る3点が与えられたときの2次関数の式は、用いる2次関数の式の形と3元1次方程式の解き方を覚えておきましょう。

【問題一覧】数学Ⅰ:2次関数
このページは「高校数学Ⅰ:2次関数」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないと...