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2次方程式の解の符号(2次関数)

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今回の問題は「2次方程式の解の符号(2次関数)」です。

問題2次方程式 \(x^2-2kx-4k+5=0\) の2つの解が以下の条件のとき、\(k\) の値の範囲を求めよ。
\({\small (1)}~\) 2つの解がともに正
\({\small (2)}~\) 2つの解がともに負
\({\small (3)}~\) 異符号の解

 

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2次方程式の解の符号(2次関数)

Point:2次方程式の解の符号(2次関数)2次方程式の2つの解の符号については、2次関数の \(x\) 軸との交点の位置の問題として考えましょう。
(1) 2つの解がともに正のとき
\(~\Leftrightarrow~\) 2次関数と \(x\) 軸の正の部分と2点で交わる
これより、グラフを描くと、

このグラフより、「交点の個数」、「軸の位置」、「\(y\) 切片」の3つの条件を考えましょう。

$$\Biggl\{ \begin{eqnarray} D>0 \\ x=p>0 \\ c>0 \end{eqnarray}$$

 
(2) 2つの解がともに負のとき
\(~\Leftrightarrow~\) 2次関数と \(x\) 軸の負の部分と2点で交わる
これより、グラフを描くと、

このグラフより、「交点の個数」、「軸の位置」、「\(y\) 切片」の3つの条件を考えましょう。

$$\Biggl\{ \begin{eqnarray} D>0 \\ x=p<0 \\ c>0 \end{eqnarray}$$

 
(3) 2つの解が異符号
\(~\Leftrightarrow~\) 2次関数が \(x\) 軸の正の部分と負の部分の1点ずつで交わる
これより、グラフを描くと、

このパターンは「\(y\) 切片の条件」だけを考えればよいので、その条件は、

$$c<0$$

となります。

 

問題解説:2次方程式の解の符号(2次関数)

問題解説(1)

問題2次方程式 \(x^2-2kx-4k+5=0\) の2つの解が以下の条件のとき、\(k\) の値の範囲を求めよ。
\({\small (1)}~\) 2つの解がともに正

この2次方程式の判別式を \(D\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}D=(-2k)^2-4\cdot1\cdot(-4k+5)$$$$\hspace{ 20 pt}=4k^2+16k-20~~\cdots{\large ①}$$また、左辺を \(y\) とした2次関数について平方完成すると、$$\hspace{ 10 pt}y=x^2-2kx-4k+5$$$$\hspace{ 18 pt}=x^2-2kx+k^2-k^2-4k+5$$$$\hspace{ 18 pt}=(x-k)^2-k^2-4k+5$$よって、軸の方程式は、$$~~~x=k~~\cdots{\large ②}$$また、この2次関数の \(y\) 切片は$$~~~-4k+5~~\cdots{\large ③}$$
 
2つの解がともに正の解のとき、この2次関数のグラフが \(x\) 軸の正の部分と2点で交わるので、

グラフより、$$~~~\Biggl\{ \begin{eqnarray} D>0 \\ x=p>0 \\ c>0 \end{eqnarray}$$であればよい。
判別式 \(D\) の条件と①より、$$\hspace{ 10 pt}D=4k^2+16k-20>0$$両辺を \(4\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}k^2+4k-5>0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(k-1)(k+5)>0$$ここで、左辺を \(y\) としたグラフと、\(y>0\) の範囲より、
$$~~~k<-5~,~1<k~~\cdots{\large ④}$$
また、軸の条件と②より、$$~~~x=k>0~~\cdots{\large ⑤}$$
また、\(y\) 切片の条件と③より、$$\hspace{ 10 pt}-4k+5>0$$移項して、両辺を \(-4\) で割ると不等号の向きが逆になるので、$$\hspace{ 10 pt}-4k>-5$$$$\hspace{ 10 pt}k<\frac{-5}{-4}$$$$\hspace{ 10 pt}k<\frac{5}{4}~~\cdots{\large ⑥}$$
したがって、④〜⑥を数直線上に表すと、

これより、答えは$$~~~1<k<\frac{5}{4}$$となります。

 

問題解説(2)

問題2次方程式 \(x^2-2kx-4k+5=0\) の2つの解が以下の条件のとき、\(k\) の値の範囲を求めよ。
\({\small (2)}~\) 2つの解がともに負

2つの解がともに負の解のとき、この2次関数のグラフが \(x\) 軸の負の部分と2点で交わるので、

グラフより、$$~~~\Biggl\{ \begin{eqnarray} D>0 \\ x=p<0 \\ c>0 \end{eqnarray}$$であればよい。
よって、判別式の条件と①より、(1)の④と同じになるので、$$~~~k<-5~,~1<k~~\cdots{\large ④}$$また、軸の条件と②より、$$~~~x=k<0~~\cdots{\large ⑦}$$また、\(y\) 切片の条件と③より、(1)の⑥と同じになるので、$$~~~k<\frac{5}{4}~~\cdots{\large ⑥}$$
したがって、④、⑥と⑦を数直線上に表すと、

これより、答えは$$~~~k<-5$$となります。

 

問題解説(3)

問題2次方程式 \(x^2-2kx-4k+5=0\) の2つの解が以下の条件のとき、\(k\) の値の範囲を求めよ。
\({\small (3)}~\) 異符号の解

2つの解が異符号のとき、この2次関数のグラフが \(x\) 軸の正の部分と負の部分の1点ずつで交わるので、

グラフより、\(y\) 切片の条件の \(c<0\) であればよい。
よって、③より、$$\hspace{ 10 pt}-4k+5<0$$移項して、両辺を \(-4\) で割ると不等号の向きが逆になるので、$$\hspace{ 10 pt}-4k<-5$$$$\hspace{ 10 pt}k>\frac{-5}{-4}$$$$\hspace{ 10 pt}k>\frac{5}{4}$$よって、答えは$$~~~k>\frac{5}{4}$$となります。

 

今回のまとめ

2次方程式に解の符号の問題は、2次関数として条件に合うグラフを描き条件式を導き出せるようにしましょう。

【問題一覧】数学Ⅰ:2次関数
このページは「高校数学Ⅰ:2次関数」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないと...