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2次不等式の文章問題

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今回の問題は「2次不等式の文章問題」です。

問題次の図のように、縦 \(6~m\) 、横 \(8~m\) の土地の周りに幅が一定の道を作る。

このとき、道を含めた全体の面積が \(80~m^2\) 以上 \(168~m^2\) 以下になるためには道の幅を何 \(m\) の範囲にすればよいか答えよ。

 

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2次不等式の文章問題の解法

Point:2次不等式の文章問題2次不等式の文章問題の解法の手順は、
範囲を求めたい数値を \(x\) とします。
このとき、この数値の範囲を考えておきます。
② 文章中の条件より、条件式を作り解きます。上で求めた範囲にも注意しましょう。

 

問題解説:2次不等式の文章問題

問題次の図のように、縦 \(6~m\) 、横 \(8~m\) の土地の周りに幅が一定の道を作る。

このとき、道を含めた全体の面積が \(80~m^2\) 以上 \(168~m^2\) 以下になるためには道の幅を何 \(m\) の範囲にすればよいか答えよ。

道幅を \(x~m\) とすると、\(x>0\) となり全体の縦の長さは、$$~~~6+2x~m$$横の長さは、$$~~~8+2x~m$$となるので、全体の面積は、$$~~~~~~(6+2x)(8+2x)$$それぞれ共通因数 \(2\) でくくると、$$~=2(3+x)\cdot2(4+x)$$$$~=4(x+3)(x+4)$$$$~=4(x^2+7x+12)$$これが、\(80~m^2\) 以上 \(168~m^2\) 以下になればよいので、$$\hspace{ 10 pt}80≦4(x^2+7x+12)≦168$$これを満たせばよい。
 
左側の不等式より、$$\hspace{ 10 pt}80≦4(x^2+7x+12)$$両辺を入れ替えて、\(4\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}4(x^2+7x+12)≧80$$$$\hspace{ 23 pt}x^2+7x+12≧20$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+7x+12-20≧0$$$$\hspace{ 36 pt}x^2+7x-8≧0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x-1)(x+8)≧0$$ここで、左辺を \(y\) としたグラフと \(y≧0\) の範囲より、
$$~~~x≦-8~,~1≦x~~\cdots{\large ①}$$
 
次に右側の不等式より、$$\hspace{ 10 pt}4(x^2+7x+12)≦168$$両辺を \(4\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+7x+12≦42$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+7x+12-42≦0$$$$\hspace{ 32 pt}x^2+7x-30≦0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x-3)(x+10)≦0$$ここで、左辺を \(y\) としたグラフと \(y≦0\) の範囲より、
$$~~~-10≦x≦3~~\cdots{\large ②}$$
 
よって、①、②と \(x>0\) を数直線上に表すと、

これより、$$~~~1≦x≦3$$
したがって、答えは
\(1~m\) 以上、\(3~m\) 以下にすればよい。

 

今回のまとめ

2次不等式の文章問題は \(x\) とした数値の範囲に注意しましょう。また、連立不等式の解は数直線上で表して解きましょう。

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