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絶対不等式

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今回の問題は「絶対不等式」です。

問題次の不等式がすべての実数 \(x\) について成り立つとき、\(k\) の値の範囲を求めよ。$$~~~x^2-kx+k+3>0$$

 

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絶対不等式の解法

Point:絶対不等式不等式 \(ax^2+bx+c>0\) がすべての実数 \(x\) について成り立つ」
これを言い換えると、
「2次関数 \(y=ax^2+bx+c\) が常に \(y>0\) となる」
となります。
よって、グラフで表すと、

このようなグラフになればよいので、\(x\) 軸との交点なしになればよい。
したがって、2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の判別式 \(D\) が、

$$D<0$$

を求めましょう。
 
このように、最終的に \(D<0\) を計算すればいいのですが、なぜその条件となるかの流れも覚えておきましょう。

 

問題解説:絶対不等式

問題次の不等式がすべての実数 \(x\) について成り立つとき、\(k\) の値の範囲を求めよ。$$~~~x^2-kx+k+3>0$$

この不等式がすべての実数 \(x\) について成り立つためには、左辺を \(y\) とした2次関数について、$$~~~y=x^2-kx+k+3=0$$この2次関数が常に \(y>0\) であればよいので、グラフで表すと、

よって、\(x\) 軸と交点を持たなければよいので、2次方程式$$~~~x^2-kx+k+3$$これの判別式 \(D\) が \(D<0\) であればよい。$$\hspace{ 10 pt}D=(-k)^2-4\cdot1\cdot(k+3)$$$$\hspace{ 20 pt}=k^2-4k-12$$条件 \(D<0\) より、$$\hspace{ 10 pt}k^2-4k-12<0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(k+2)(k-6)<0$$よって、左辺を \(y\) としたグラフと \(y<0\) の範囲を考えると、

よって、答えは$$~~~-2<k<6$$となります。

 

今回のまとめ

絶対不等式の解法は、式のそのまま解くのではなく条件よりグラフを考えて判別式を用いて解きましょう。

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