２次方程式の解の符号（２次関数）

2018.08.152020.06.09

２次方程式の解の符号（２次関数）
問題解説：２次方程式の解の符号（２次関数）
今回のまとめ

２次方程式の解の符号（２次関数）

Point：２次方程式の解の符号（２次関数）２次方程式の２つの解の符号については、２次関数の $x$ 軸との交点の位置の問題として考えましょう。
(1) ２つの解がともに正のとき
$~\Leftrightarrow~$ ２次関数と $x$ 軸の正の部分と２点で交わる
これより、グラフを描くと、

このグラフより、「交点の個数」、「軸の位置」、「$y$ 切片」の３つの条件を考えましょう。

$$\Biggl\{ \begin{eqnarray} D>0 \\ x=p>0 \\ c>0 \end{eqnarray}$$

(2) ２つの解がともに負のとき
$~\Leftrightarrow~$ ２次関数と $x$ 軸の負の部分と２点で交わる
これより、グラフを描くと、

このグラフより、「交点の個数」、「軸の位置」、「$y$ 切片」の３つの条件を考えましょう。

$$\Biggl\{ \begin{eqnarray} D>0 \\ x=p<0 \\ c>0 \end{eqnarray}$$

(3) ２つの解が異符号
$~\Leftrightarrow~$ ２次関数が $x$ 軸の正の部分と負の部分の１点ずつで交わる
これより、グラフを描くと、

このパターンは「$y$ 切片の条件」だけを考えればよいので、その条件は、

$$c<0$$

となります。

問題解説：２次方程式の解の符号（２次関数）

問題解説(1)

問題２次方程式 $x^2-2kx-4k+5=0$ の２つの解が以下の条件のとき、$k$ の値の範囲を求めよ。
${\small (1)}~$ ２つの解がともに正

この２次方程式の判別式を $D$ とすると、$$\hspace{ 10 pt}D=(-2k)^2-4\cdot1\cdot(-4k+5)$$$$\hspace{ 20 pt}=4k^2+16k-20~~\cdots{\large ①}$$また、左辺を $y$ とした２次関数について平方完成すると、$$\hspace{ 10 pt}y=x^2-2kx-4k+5$$$$\hspace{ 18 pt}=x^2-2kx+k^2-k^2-4k+5$$$$\hspace{ 18 pt}=(x-k)^2-k^2-4k+5$$よって、軸の方程式は、$$~~~x=k~~\cdots{\large ②}$$また、この２次関数の $y$ 切片は$$~~~-4k+5~~\cdots{\large ③}$$

２つの解がともに正の解のとき、この２次関数のグラフが $x$ 軸の正の部分と２点で交わるので、

グラフより、$$~~~\Biggl\{ \begin{eqnarray} D>0 \\ x=p>0 \\ c>0 \end{eqnarray}$$であればよい。
判別式 $D$ の条件と①より、$$\hspace{ 10 pt}D=4k^2+16k-20>0$$両辺を $4$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}k^2+4k-5>0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(k-1)(k+5)>0$$ここで、左辺を $y$ としたグラフと、$y>0$ の範囲より、
$$~~~k<-5~,~1<k~~\cdots{\large ④}$$
また、軸の条件と②より、$$~~~x=k>0~~\cdots{\large ⑤}$$
また、$y$ 切片の条件と③より、$$\hspace{ 10 pt}-4k+5>0$$移項して、両辺を $-4$ で割ると不等号の向きが逆になるので、$$\hspace{ 10 pt}-4k>-5$$$$\hspace{ 10 pt}k<\frac{-5}{-4}$$$$\hspace{ 10 pt}k<\frac{5}{4}~~\cdots{\large ⑥}$$
したがって、④〜⑥を数直線上に表すと、

これより、答えは$$~~~1<k<\frac{5}{4}$$となります。

問題解説(2)

問題２次方程式 $x^2-2kx-4k+5=0$ の２つの解が以下の条件のとき、$k$ の値の範囲を求めよ。
${\small (2)}~$ ２つの解がともに負

２つの解がともに負の解のとき、この２次関数のグラフが $x$ 軸の負の部分と２点で交わるので、

グラフより、$$~~~\Biggl\{ \begin{eqnarray} D>0 \\ x=p<0 \\ c>0 \end{eqnarray}$$であればよい。
よって、判別式の条件と①より、(1)の④と同じになるので、$$~~~k<-5~,~1<k~~\cdots{\large ④}$$また、軸の条件と②より、$$~~~x=k<0~~\cdots{\large ⑦}$$また、$y$ 切片の条件と③より、(1)の⑥と同じになるので、$$~~~k<\frac{5}{4}~~\cdots{\large ⑥}$$
したがって、④、⑥と⑦を数直線上に表すと、

これより、答えは$$~~~k<-5$$となります。

問題解説(3)

問題２次方程式 $x^2-2kx-4k+5=0$ の２つの解が以下の条件のとき、$k$ の値の範囲を求めよ。
${\small (3)}~$ 異符号の解

２つの解が異符号のとき、この２次関数のグラフが $x$ 軸の正の部分と負の部分の１点ずつで交わるので、

グラフより、$y$ 切片の条件の $c<0$ であればよい。
よって、③より、$$\hspace{ 10 pt}-4k+5<0$$移項して、両辺を $-4$ で割ると不等号の向きが逆になるので、$$\hspace{ 10 pt}-4k<-5$$$$\hspace{ 10 pt}k>\frac{-5}{-4}$$$$\hspace{ 10 pt}k>\frac{5}{4}$$よって、答えは$$~~~k>\frac{5}{4}$$となります。