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2次不等式の解②(x軸と接する)

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今回の問題は「2次不等式の解②(x軸と接する)」です。

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~x^2-4x+4<0$$$${\small (2)}~-x^2+4x-4≦0$$$${\small (3)}~x^2-4x+4≦0$$$${\small (4)}~-x^2+4x-4<0$$

 

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2次不等式の解(x軸と接する)

Point:2次不等式の解(x軸と接する)① 左辺にすべての項をまとめて、\(x^2\) の係数が負の数のときは両辺に \(-1\) をかけて正の数とします。このとき、不等式の向きが逆になることに注意しましょう。
② 左辺を \((x-\alpha)^2\) と因数分解します。
(1) \((x-\alpha)^2≧0\) のとき
左辺を \(y\) としたグラフより、

グラフが範囲内にすべてあるので、答えは

「すべての実数」

となります。
 
(2) \((x-\alpha)^2>0\) のとき
左辺を \(y\) としたグラフより、

\(x\) 軸上は含まないので、\(x=\alpha\) のときは範囲外となります。
よって、答えは

「\(x=\alpha\) 以外のすべての実数」

となります。
 
(3) \((x-\alpha)^2≦0\) のとき
左辺を \(y\) としたグラフより、

\(x\) 軸上を含むので、\(x=\alpha\) のときのみ範囲内にあります。
よって、答えは

$$x=\alpha$$

となります。
 
(4) \((x-\alpha)^2<0\) のとき
左辺を \(y\) としたグラフより、

範囲内にグラフがないので、答えは

「解なし」

となります。

 

問題解説:2次不等式の解②(x軸と接する)

問題解説(1)

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~x^2-4x+4<0$$

左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x-2)^2<0$$ここで、左辺を \(y\) としたときのグラフは、\(x\) 軸と \(x=2\) で接するので、

このグラフより \(y<0\) となるような範囲が解となりますが、範囲内にグラフがないので、
答えは、「解なし」となります。

 

問題解説(2)

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (2)}~-x^2+4x-4≦0$$

\(x^2\) の係数が負の数であるので、両辺に \(-1\) をかけると、不等号の向きが逆になるので、$$~~~x^2-4x+4≧0$$となります。
左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x-2)^2≧0$$ここで、左辺を \(y\) としたときのグラフは、\(x\) 軸と \(x=2\) で接するので、

このグラフより \(y≧0\) となるような範囲が解となり、\(x=2\) を含めてグラフがすべて範囲内にあるので、
答えは、「すべての実数」となります。

 

問題解説(3)

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (3)}~x^2-4x+4≦0$$

左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x-2)^2≦0$$ここで、左辺を \(y\) としたときのグラフは、\(x\) 軸と \(x=2\) で接するので、

このグラフより \(y≦0\) となるような範囲が解となり、\(x=2\) のときのみとなるので、
答えは、$$~~~x=2$$となります。

 

問題解説(4)

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (4)}~-x^2+4x-4<0$$

\(x^2\) の係数が負の数であるので、両辺に \(-1\) をかけると、不等号の向きが逆になるので、$$~~~x^2-4x+4>0$$となります。
左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x-2)^2>0$$ここで、左辺を \(y\) としたときのグラフは、\(x\) 軸と \(x=2\) で接するので、

このグラフより \(y>0\) となるような範囲が解となり、\(x=2\) 以外のグラフがすべて範囲内にあるので、
答えは、
「\(x=2\) 以外のすべての実数」
となります。

 

今回のまとめ

今回の解法パターンでもグラフを書くことが重要となります。また、答え方は暗記はせずにグラフから読み取れるように練習しておきましょう。

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