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数学的帰納法③(整数の性質)

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今回の問題は「数学的帰納法③(整数の性質)」です。

問題\(n\) を自然数とするとき、\(2n^2+2n\) が \(4\) の倍数となることを数学的帰納法によって証明せよ。

 

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命題が整数の性質のときの数学的帰納法

Point:命題が整数の性質のときの数学的帰納法\(n=k\) のときの仮定が成り立つとき、\(3\) の倍数などは整数 \(m\) を用いて \(3m\) と表せます。
これを条件式として、\(n=k+1\) のときの式が成り立つことを示しましょう。

 

問題解説

問題\(n\) を自然数とするとき、\(2n^2+2n\) が \(4\) の倍数となることを数学的帰納法によって証明せよ。

[証明]
( ⅰ ) \(n=1\) のとき、$$~~~2\cdot1^2+2\cdot1=2+2=4$$よって、\(4\) の倍数となります。
 
( ⅱ ) \(n=k\) のときに成り立つと仮定すると、整数 \(m\) を用いて、$$~~~2k^2+2k=4m~\cdots{\large ①}$$ここで、\(n=k+1\) のときを考えると、$$~~~~~~2(k+1)^2+2(k+1)$$$$~=2(k^2+2k+1)+2k+2$$$$~=2k^2+4k+2+2k+2$$$$~=2k^2+6k+4$$$$~=(2k^2+2k)+4k+4$$ここで、①を代入すると、$$~=4m+4k+4$$$$~=4(m+k+1)$$よって、\(4\) の倍数となり、\(n=k+1\) のときも成り立ちます。
 
( ⅰ )、( ⅱ )により、すべての自然数において、\(2n^2+2n\) が \(4\) の倍数となります。[終]

 

今回のまとめ

整数の性質を数学的帰納法で証明するときは、\(n=k\) のときの条件式を用いて \(n=k+1\) のとき成り立つことを示しましょう。

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