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数学的帰納法②(不等式)

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今回の問題は「数学的帰納法②(不等式)」です。

問題\(n\) を3以上の自然数とするとき、次の不等式を証明せよ。$$~~~2^n>3n+2$$

 

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数学的帰納法と不等式証明

Point:数学的帰納法と不等式証明\(n=k+1\) のときの、両辺の差(左辺−右辺)を \(n=k\) の条件式を用いて、0より大きくなることを証明します。

 

問題解説

問題\(n\) を3以上の自然数とするとき、次の不等式を証明せよ。$$~~~2^n>3n+2$$

[証明]
( ⅰ ) \(n=3\) のとき、
左辺は、$$~~~2^3=8$$右辺は、$$~~~3\cdot3-2=9-2=7$$よって、不等式は成り立ちます。
( ⅱ ) \( n=k \) のとき、不等式が成り立つと仮定すると、$$~~~3^k>3k-2~\cdots{\Large ①}$$\(n=k+1\) のとき、命題の両辺の差を考えると、$$~~~~~~2^{k+1}-{3(k+1)-2}$$$$~=2\cdot2^k-(3k+3-2)$$$$~=2\cdot2^k-(3k+1)$$ここで、①の不等式より、$$~>2(3k-2)-(3k+1)$$$$~=6k-4-3k-1$$$$~=3k-5$$\( k≧3 \) より、$$~=3k-5>0$$よって、$$~~~2^{k+1}>3(k+1)-2$$これより、この不等式は \( n=k+1 \) のときも成り立ちます。
( ⅰ )、( ⅱ )により、\( 3 \) 以上のすべての自然数 \( n \) について、不等式は成り立ちます。[終]

 

今回のまとめ

不等式の場合でも数学的帰納法の基本は同じです。\( k+1 \) のときを示すとき、不等式を条件式として代入する方法を覚えておきましょう。

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