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等比数列になる条件

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今回の問題は「等比数列になる条件」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 3つの数 \(98~,~14~,~x\) がこの順に等比数列となるとき、実数 \(x\) の値を求めよ。
\({\small (2)}\) 3つの数 \(x~,~y~,~3\) がこの順に等差数列となり、3つの数 \(5~,~x~,~45\) がこの順に等比数列となるとき、実数 \(x~,~y\) の値を求めよ。

 

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等比数列になる条件の解法

Point:等比中項数列 \(a~,~b~,~c\) がこの順に等比数列となる

$$~~~\Leftrightarrow~b^2=ac~~~$$

(中項)2=(両端の積)」と覚えましょう。

 

問題解説:等比数列になる条件

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 3つの数 \(98~,~14~,~x\) がこの順に等比数列となるとき、実数 \(x\) の値を求めよ。

\(98~,~14~,~x\) がこの順に等比数列となることより、$$\hspace{11pt}14^2=98\cdot x$$$$\hspace{ 10 pt}196=98x$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}98x=196$$両辺を \(98\) で割ると、$$\hspace{ 21 pt}x=2$$よって、答えは \(x=2\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}\) 3つの数 \(x~,~y~,~3\) がこの順に等差数列となり、3つの数 \(5~,~x~,~45\) がこの順に等比数列となるとき、実数 \(x~,~y\) の値を求めよ。

\(x~,~y~,~3\) がこの順に等差数列となることより、$$~~~2y=x+3~\cdots①$$
\(5~,~x~,~45\) がこの順に等比数列となることより、$$\hspace{ 10 pt}x^2=5\cdot45$$$$\hspace{ 10 pt}x^2=225$$$$\hspace{ 14 pt}x=\pm15$$
( ⅰ ) \(x=15\) のとき、
①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}2y=15+3$$$$\hspace{ 10 pt}2y=18$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 15 pt}y=9$$
( ⅱ ) \(x=-15\) のとき、
①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}2y=-15+3$$$$\hspace{ 10 pt}2y=-12$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 15 pt}y=-6$$

よって、( ⅰ )と( ⅱ )より答えは、$$~~~x=15~,~y=9$$または$$~~~x=-15~,~y=-6$$となります。

 

今回のまとめ

等差数列になる条件と等比数列になる条件は混合しないようにそれぞれをしっかりと覚えておきましょう。

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