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漸化式①(基本解法)

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今回の問題は「漸化式①(基本解法)」です。

問題次の数列の一般項を求めよ。$${\small (1)}~a_1=2~,~a_{n+1}=a_n+3$$$${\small (2)}~a_1=3~,~a_{n+1}=5a_n$$$${\small (3)}~a_1=6~,~a_{n+1}=a_n+2n-1$$$${\small (4)}~a_1=2~,~a_{n+1}=a_n+3^n$$

 

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漸化式の基本解法

Point:漸化式漸化式とは \(a_n\) と \(a_{n+1}\) との関係式を表し、\(a_1\) と合わせて数列の一般項を求めることができます。
 
・等差数列となる漸化式
\(d\) を定数とするとき、$$~~~a_{n+1}=a_n+d$$この数列は、初項 \(a_1\)、公差 \(d\) の等差数列となるので、一般項は、

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

となります。
 
・等比数列となる漸化式
\(r\) を定数とするとき、$$~~~a_{n+1}=ra_n$$この数列は、初項 \(a_1\)、公比 \(r\) の等比数列となるので、一般項は、

$$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$$

となります。
 
・階差数列を利用する漸化式
\(f(n)\) を \(n\) の式とするとき、$$~~~a_{n+1}=a_n+f(n)$$この数列は、\(f(n)\) が階差数列となるので、一般項は \(n≧2\) のとき、

$$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$$

また、\(n=1\) のとき成り立つことを確認して \(a_n\) を求めます。

 

問題解説:漸化式(基本解法)

問題解説(1)

問題次の数列の一般項を求めよ。$${\small (1)}~a_1=2~,~a_{n+1}=a_n+3$$

この数列は、初項 \(2\)、公差 \(3\) の等差数列となります。
一般項は、初項から公差を \(n-1\) 回加えるので、$$\hspace{ 10 pt}a_n=2+(n-1)\cdot3$$$$\hspace{ 22 pt}=2+3n-3$$$$\hspace{ 22 pt}=3n-1$$よって、答えは、$$~~~a_n=3n-1$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の数列の一般項を求めよ。$${\small (2)}~a_1=3~,~a_{n+1}=5a_n$$

この数列は、初項 \(3\)、公比 \(5\) の等比数列となります。
一般項は、初項から公比を \(n-1\) 回かけるので、$$\hspace{ 10 pt}a_n=3\cdot5^{n-1}$$$よって、答えは、$$~~~a_n=3\cdot5^{n-1} $$となります。

 

問題解説(3)

問題次の数列の一般項を求めよ。$${\small (3)}~a_1=6~,~a_{n+1}=a_n+2n-1$$

$$~~~a_{n+1}-a_n=2n-1$$この式より、この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は、$$~~~b_n=2n-1$$よって、\(n≧2\) のとき、$$\hspace{ 10 pt}a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k$$$$\hspace{ 22 pt}=6+\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)$$$$\hspace{ 22 pt}=6+2\sum_{k=1}^{n-1}k-\sum_{k=1}^{n-1}1$$$$\hspace{ 22 pt}=6+2\cdot\frac{1}{2}(n-1)\{(n-1)+1\}$$$$\hspace{ 70 pt}-(n-1)$$$$\hspace{ 22 pt}=6+(n-1)(n-1+1)-n+1$$$$\hspace{ 22 pt}=6+(n-1)n-n+1$$$$\hspace{ 22 pt}=6+n^2-n-n+1$$$$\hspace{ 22 pt}=n^2-2n+7$$ここで、この式は \(n=1\) のとき、$$\hspace{ 10 pt}a_1=1^2-2\cdot1+7$$$$\hspace{ 22 pt}=1-2+7$$$$\hspace{ 22 pt}=6$$よって、この式は \(n=1\) のときも成り立ちます。
よって、答えは$$~~~a_n=n^2-2n+7$$となります。

 

問題解説(4)

問題次の数列の一般項を求めよ。$${\small (4)}~a_1=2~,~a_{n+1}=a_n+3^n$$

$$~~~a_{n+1}-a_n=3^n$$この式より、この数列の階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項は、$$~~~b_n=3^n$$よって、\(n≧2\) のとき、$$\hspace{ 10 pt}a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k$$$$\hspace{ 22 pt}=2+\sum_{k=1}^{n-1}3^k$$このシグマ計算は、初項が \(3\)、公比 \(3\)、項数が \(n-1\) の等比数列の和となるので、$$\hspace{ 22 pt}=2+\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}$$$$\hspace{ 22 pt}=2+\frac{3\cdot3^{n-1}-3}{2}$$$$\hspace{ 22 pt}=2+\frac{3^n-3}{2}$$$$\hspace{ 22 pt}=\frac{4+3^n-3}{2}$$$$\hspace{ 22 pt}=\frac{3^n+1}{2}$$ここで、この式は \(n=1\) のとき、$$\hspace{ 10 pt}a_1=\frac{3^1+1}{2}$$$$\hspace{ 22 pt}=\frac{3+1}{2}$$$$\hspace{ 22 pt}=\frac{4}{2}$$$$\hspace{ 22 pt}=2$$よって、この式は \(n=1\) のときも成り立ちます。
よって、答えは$$~~~a_n=\frac{3^n+1}{2}$$となります。

 

今回のまとめ

漸化式から一般項を求めるときは、その漸化式よりどのような数列になり、どの解法を用いるかを考えて解きましょう。

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このページは「高校数学B:数列」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは...