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一般項が数列の和となる数列

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今回の問題は「一般項が数列の和となる数列」です。

問題次の数列の第 \(k\) 項を求めて、初項から第 \(n\) 項までの和を求めよ。$$~~~1~,~1+4~,~1+4+7~,~\cdots~,~$$$$\hspace{ 40 pt}1+4+7+\cdots+3n-2$$

 

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一般項が数列の和となる数列の解法

Point:一般項が数列の和となる数列第 \(k\) 項の求め方は、
① 第 \(k\) 項がどのような数列の和となるか確認します。
② 数列の和の公式より、第 \(k\) 項を求めます。
初項から第 \(n\) 項までの和の求め方は、
③ 求めた第 \(k\) 項の式に \(k=1\to n\) のシグマ記号を付けます。
④ できたシグマの式を計算します。

 

問題解説:一般項が数列の和となる数列

問題次の数列の第 \(k\) 項を求めて、初項から第 \(n\) 項までの和を求めよ。$$~~~1~,~1+4~,~1+4+7~,~\cdots~,~$$$$\hspace{ 40 pt}1+4+7+\cdots+3n-2$$

与えられた数列は、$$\hspace{ 10 pt}a_1=1$$$$\hspace{ 10 pt}a_2=1+4$$$$\hspace{ 10 pt}a_3=1+4+7$$これより第 \(k\) 項 \(a_k\) は、$$\hspace{ 10 pt}a_k=1+4+7+\cdots+3k-2$$このように、初項 \(1\)、末項 \(3k-2\)、項数 \(k\) の等差数列の和となるので、$$\hspace{ 10 pt}a_k=\frac{1}{2}k\{1+(3k-2)\}$$$$\hspace{ 22 pt}=\frac{1}{2}k(1+3n-2)$$$$\hspace{ 22 pt}=\frac{1}{2}k(3k-1)$$よって、$$~~~a_k= \frac{1}{2}k(3k-1)$$となります。
 
次に、この数列の初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) は、$$\hspace{ 16 pt}S_n$$$$\hspace{ 5 pt}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}k(3k-1)$$$$\hspace{ 5 pt}= \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{3}{2}k^2-\frac{1}{2}k \right)$$$$\hspace{ 5 pt}=\frac{3}{2} \sum_{k=1}^{n} k^2-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} k$$シグマ記号の公式を用いると、$$\hspace{ 5 pt}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}n(n+1)$$$$\hspace{ 5 pt}=\frac{1}{4}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{4}n(n+1)$$共通因数でくくると、$$\hspace{ 5 pt}=\frac{1}{4}n(n+1)\{(2n+1)-1\}$$$$\hspace{ 5 pt}=\frac{1}{4}n(n+1)(2n+1-1)$$$$\hspace{ 5 pt}=\frac{1}{4}n(n+1)\cdot2n$$$$\hspace{ 5 pt}=\frac{1}{2}n^2(n+1)$$
よって、答えは第 \(k\) 項が、$$~~~ \frac{1}{2}k(3k-1)$$初項から第 \(n\) 項までの和は、$$~~~ \frac{1}{2}n^2(n+1)$$となります。

 

今回のまとめ

一般項が数列の和となっている数列は、まずはその一般項を和の公式やシグマの公式を用いて計算しましょう。

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