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数列の和と一般項の関係

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今回の問題は「数列の和と一般項の関係」です。

問題数列の和が次の式のとき、この数列の一般項を求めよ。$${\small (1)}~S_n=3n^2-n$$$${\small (2)}~S_n=2^n-1$$

 

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数列の和と一般項の関係の解法

Point:数列の和と一般項の関係数列の和 \(S_n\) が与えられたとき、
① \(n=1\) として、\(S_1=a_1\) より \(a_1\) の値を求めます。
② \(n≧2\) のとき、\(S_{n-1}\) の式の値を求めます。
③ 次の式より、\(a_n\) の値を求めます。
 \(n≧2\) のとき、

$$a_n=S_n-S_{n-1}$$

④ 求めた \(a_n\) が \(n=1\) のとき、①の \(a_1\) と同じになる確認します。

 

問題解説:数列の和と一般項の関係

問題解説(1)

問題数列の和が次の式のとき、この数列の一般項を求めよ。$${\small (1)}~S_n=3n^2-n$$

\(n=1\) のとき、\(S_1=a_1\) となるので、$$\hspace{ 10 pt}S_1=a_1=3\cdot1^2-1$$$$\hspace{ 47 pt}=3-1$$$$\hspace{ 47 pt}=2~~~\cdots{\Large ①}$$次に \(n≧2\) のとき、\(S_{n-1}\) の式の値は、$$\hspace{ 10 pt}S_{n-1}=3(n-1)^2-(n-1)$$$$\hspace{ 32 pt}=3(n^2-2n+1)-n+1$$$$\hspace{ 32 pt}=3n^2-6n+3-n+1$$$$\hspace{ 32 pt}=3n^2-7n+4$$よって、これより \(a_n=S_n-S_{n-1}\) を用いると、$$\hspace{ 10 pt}a_n=(3n^2-n)-(3n^2-7n+4)$$$$\hspace{ 23 pt}=3n^2-n-3n^2+7n-4$$$$\hspace{ 23 pt}=6n-4$$ここで、この式より \(n=1\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}a_1=6\cdot1-4$$$$\hspace{ 23 pt}=6-4$$$$\hspace{ 23 pt}=2$$これは①と同じになるので、この式は \(n=1\) のときも成り立ちます。
よって、答えは、$$~~~a_n=6n-4$$となります。

 

問題解説(2)

問題数列の和が次の式のとき、この数列の一般項を求めよ。$${\small (2)}~S_n=2^n-1$$

\(n=1\) のとき、\(S_1=a_1\) となるので、$$\hspace{ 10 pt}S_1=a_1=2^1-1$$$$\hspace{ 47 pt}=2-1$$$$\hspace{ 47 pt}=1 ~~~\cdots{\Large ①}$$次に \(n≧2\) のとき、\(S_{n-1}\) の式の値は、$$\hspace{ 10 pt}S_{n-1}=2^{n-1}-1$$よって、これより \(a_n=S_n-S_{n-1}\) を用いると、$$\hspace{ 10 pt}a_n=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)$$$$\hspace{ 23 pt}=2^n-1-2^{n-1}+1$$$$\hspace{ 23 pt}=2^n-2^{n-1}$$共通因数 \(2^{n-1}\) でくくると、$$\hspace{ 23 pt}=2^{n-1}(2-1)$$$$\hspace{ 23 pt}=2^{n-1}$$ここで、この式より \(n=1\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}a_1=2^{1-1}$$$$\hspace{ 23 pt}=2^0$$$$\hspace{ 23 pt}=1$$これは①と同じになるので、この式は \(n=1\) のときも成り立ちます。
よって、答えは、$$~~~a_n=2^{n-1}$$となります。

 

今回のまとめ

数列の和が与えられたとにの一般項の求め方は、\(n=1\) と \(n≧2\) のときの場合分けを忘れないようにしましょう。

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