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階差数列

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今回の問題は「階差数列」です。

問題次の数列の一般項を求めよ。$${\small (1)}~\{a_n\}=\{ 3~,~5~,~9~,~17~,~33~,~\cdots\}$$$${\small (2)}~\{a_n\}=\{ 5~,~8~,~13~,~20~,~29~,~\cdots\}$$

 

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階差数列の解法

Point:タイトル数列 \(\{a_n\}\) に対して、各項の差が別の数列 \(\{b_n\}\) となっているとき、
 
\(~~~\{a_n\}=\{~a_1~~,~~a_2~~,~~a_3~~,~~\cdot~\cdot~\cdot~~,~~a_n~\}\)
\(\hspace{ 50 pt}\) \(\overset{\smile}{+b_1}\)\(\hspace{ 4 pt}\) \(\overset{\smile}{+b_2}\)\(\hspace{ 2 pt}\) \(\overset{\smile}{+b_3}\)\(~\cdot~\cdot ~\cdot~\) \(\overset{\smile}{+b_{n-1}}\)
 
これより、\(b_n=a_n-a_{n-1}\) を満たす数列 \(\{b_n\}\) を数列 \(\{a_n\}\) の階差数列といいます。
 
・階差数列の一般項数列
\(\{a_n\}\) の階差数列を \(\{b_n\}\) とするとき、この数列 \(\{a_n\}\) の一般項 \(a_n\) は、\(n≧2\) とするとき初項 \(a_1\) から \(b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{n-1}\) を加えたものになるので、

$$a_n=a_1+(b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{n-1})$$$$\hspace{ 12 pt}=a_1+\sum_{k=1} ^{n-1}b_k$$

となります。
 
解法の手順は、
① 階差数列 \(\{b_n\}\) がどのような数列となる書き並べて一般項 \(b_n\) を求めます。
\(n≧2\) のとき、一般項 \(a_n\) を、

$$a_n =a_1+\sum_{k=1} ^{n-1}b_k$$

これより求めます。
③ 求めた一般項が \(n=1\) のときに成り立つか確認します。

 

問題解説:階差数列

問題解説(1)

問題次の数列の一般項を求めよ。$${\small (1)}~\{a_n\}=\{ 3~,~5~,~9~,~17~,~33~,~\cdots\}$$

この数列の階差数列を \(\{b_n\}\) とすると、$$~~~\{b_n\}=\{ 2~,~4~,~8~,~16~,~\cdots\}$$これは初項 \(2\)、公比 \(2\) の等比数列となり、その一般項は初項から \(n-1\) 回公比をかけるので、$$\hspace{ 10 pt}b_n=2\cdot 2^{n-1}$$$$\hspace{ 22 pt}=2^n$$よって、\(n≧2\) のとき、一般項 \(a_n\) は、$$\hspace{ 10 pt} a_n =a_1+\sum_{k=1} ^{n-1}2^{k-1}$$\(a_1=3\) となり、シグマの計算は、初項 \(2\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、$$\hspace{ 22 pt}=3+\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}$$$$\hspace{ 22 pt}=3+\frac{2^n-2}{1}$$$$\hspace{ 22 pt}=3+2^n-2$$$$\hspace{ 22 pt}=2^n+1$$よって、\(a_n=2^n+1\) となります。
ここで、この式より \(n=1\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}a_1=2^1+1$$$$\hspace{ 22 pt}=2+1$$$$\hspace{ 22 pt}=3$$これより、この式は \(n=1\) のときも成り立ちます。
よって、答えは、$$~~~a_n=2^n+1$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の数列の一般項を求めよ。$${\small (2)}~\{a_n\}=\{ 5~,~8~,~13~,~20~,~29~,~\cdots\}$$

この数列の階差数列を \(\{b_n\}\) とすると、$$~~~\{b_n\}=\{ 3~,~5~,~7~,~9~,~\cdots\}$$これは初項 \(3\)、公差 \(2\) の等差数列となり、その一般項は初項から \(n-1\) 回公差を加えるので、$$\hspace{ 10 pt}b_n=3+(n-1)\cdot2$$$$\hspace{ 22 pt}=3+2n-2$$$$\hspace{ 22 pt}=2n+1$$よって、\(n≧2\) のとき、一般項 \(a_n\) は、$$\hspace{ 10 pt} a_n =a_1+\sum_{k=1} ^{n-1}(2k+1)$$\(a_1=5\) であるので、$$\hspace{ 10 pt}=5+2 \sum_{k=1} ^{n-1}k + \sum_{k=1} ^{n-1}1$$$$\hspace{ 10 pt}=5+2\cdot\frac{1}{2}(n-1)\{(n-1)+1\}+(n-1)$$$$\hspace{ 10 pt}=5+(n-1)(n-1+1)+n-1$$$$\hspace{ 10 pt}=5+(n-1)n+n-1$$$$\hspace{ 10 pt}=5+n^2-n+n-1$$$$\hspace{ 10 pt}=n^2+4$$よって、\(a_n=n^2+4\) となります。
ここで、この式より \(n=1\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}a_1=1^2+4$$$$\hspace{ 22 pt}=1+4$$$$\hspace{ 22 pt}=5$$これより、この式は \(n=1\) のときも成り立ちます。
よって、答えは、$$~~~a_n=n^2+4$$となります。

 

今回のまとめ

階差数列は、等差数列や等比数列と共に重要な数列の1つとなります。一般項を求める手順を覚えておきましょう。

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このページは「高校数学B:数列」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは...