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分数数列の和

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今回の問題は「分数数列の和」です。

問題次の数列の和を求めよ。$${\small (1)}~\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)}$$$${\small (2)}~\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$$

 

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分数数列の和の解法

Point:分数数列の和部分分数に分ける計算を押さえておきましょう。
① 与えられた分数式を、
(分母が小さい数の分数)−(分母の大きい数の分数)
この式に式変形します。
分解した式を通分して元の式と同じになるか確認します。
③ 分子の値が違う場合は、その値の逆数をかけて元の式と同じ式にしましょう。
④ この式を用いて数列の項を書き並べます。
消えていく項と残る項を考えて和を求めます。

 

問題解説:分数数列の和

問題解説(1)

問題次の数列の和を求めよ。$${\small (1)}~\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)}$$

2つの分数に分けると、$$\hspace{ 18 pt}\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$この式を通分すると、$$\hspace{ 10 pt}=\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}$$$$\hspace{ 10 pt}=\frac{1}{k(k+1)}$$よって、$$~~~\frac{1}{k(k+1)}= \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $$この式を用いると、与式は、$$~~~~~~\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)}$$$$~= \sum_{k=1}^{20}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right)$$

これより、数列の和を \(k=1~,~2~,~3~,~\cdots~,~20\) と書き並べると、

$$\hspace{ 10 pt}=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)$$$$\hspace{ 11 pt}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)$$$$\hspace{ 11 pt}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)$$$$\hspace{ 20 pt}\cdot~\cdot~\cdot$$$$\hspace{ 11 pt} +\left(\frac{1}{19}-\frac{1}{20}\right)$$$$\hspace{ 11 pt}+\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{21}\right)$$ここで、各項が消えていき始めの項と最後の項だけ残るので、$$\hspace{ 10 pt}=1-\frac{1}{21}$$$$\hspace{ 10 pt}=\frac{21-1}{21}$$$$\hspace{ 10 pt}=\frac{20}{21}$$よって、答えは、$$~~~\frac{20}{21}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の数列の和を求めよ。$${\small (2)}~\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$$

2つの分数に分けると、$$\hspace{ 18 pt}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}$$この式を通分すると、$$\hspace{ 10 pt}=\frac{(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}$$$$\hspace{ 10 pt}=\frac{2k+1-2k-1}{(2k-1)(2k+1)}$$$$\hspace{ 10 pt}=\frac{2}{(2k-1)(2k+1)}$$よって、$$~ \frac{2}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}$$左辺の分子が \(2\) となっているので、両辺を \(2\) で割ると、$$~ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$$この式を用いると、与式は、$$~~~~~~ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$$$$~= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$$これより、数列の和を \(k=1~,~2~,~3~,~\cdots\) と書き並べると、$$\hspace{ 10 pt}=\frac{1}{2}\biggl\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)$$$$\hspace{ 38 pt}\cdot~\cdot~\cdot$$$$\hspace{ 28 pt}+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\biggl\}$$ここで、各項が消えていき始めの項と最後の項だけ残るので、$$\hspace{ 10 pt}=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2n+1}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}=\frac{1}{2}\cdot\frac{(2n+1)-1}{2n+1}$$$$\hspace{ 10 pt}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2n}{2n+1}$$$$\hspace{ 10 pt}=\frac{n}{2n+1}$$よって、答えは、$$~~~\frac{2n}{2n+1}$$となります。

 

今回のまとめ

分数数列の和の解法は、部分分数に分ける計算方法と数列の和を書き並べて項が消えていく計算を押さえておきましょう。

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このページは「高校数学B:数列」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは...