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等差数列の性質

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今回の問題は「等差数列の性質」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 一般項が \(a_n=3n-1\) で表される数列 \(\{a_n\}\) はどのような数列か答えよ。
\({\small (2)}\) 3つの数 \(x-4~,~6~,~x+2\) がこの順に等差数列となるとき、\(x\) の値を求めよ。

 

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等差数列の性質

Point:等差数列の性質等差数列の一般項より、\(n\) について整理すると、$$~~~a_n=a+(n-1)d$$$$\hspace{ 21 pt}=a+nd-d$$$$\hspace{ 21 pt}=dn+(a-d)$$よって、一般項が \(n\) の1次式ならば等差数列となります。
 
また、一般項が与えられたときは \(a_{n+1}\) を求めて、

$$a_{n+1}-a_n=d$$

この式より公差 \(d\) を求めます。

Point:等差中項

数列 \(a,b,c\) がこの順に等差数列となる

$$~~~\Leftrightarrow~ 2b=a+c~~~$$

(中項)×2=(両端の和)」と覚えましょう。

 

問題解説:等差数列の性質

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 一般項が \(a_n=3n-1\) で表される数列 \(\{a_n\}\) はどのような数列か答えよ。

\(a_n=3n-1\) より、\(n\to n+1\) とすると、$$~~~a_{n+1}=3(n+1)-1$$$$\hspace{ 30 pt}=3n+3-1$$$$\hspace{ 30 pt}=3n+2$$よって、すべての自然数 \(n\) について、$$~~~~~~a_{n+1}-a_n$$$$~=(3n+2)-(3n-1)$$$$~=3n+2-3n+1$$$$~=3$$

また、\(n=1\) のとき、$$~~~a_1=3\cdot1-1$$$$\hspace{ 21 pt}=3-1$$$$\hspace{ 21 pt}=2$$
したがって、数列 \(\{a_n\}\) は初項 \(2\) で、公差 \(3\) の等差数列となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}\) 3つの数 \(x-4~,~6~,~x+2\) がこの順に等差数列となるとき、\(x\) の値を求めよ。

$$~~~x-4~,~6~,~x+2$$この順に等差数列になることより、$$\hspace{ 10 pt}2\times6=(x-4)+(x+2)$$$$\hspace{ 22 pt}12=x-4+x+2$$$$\hspace{ 22 pt}12=2x-2$$移項して、 \(-2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}-2x=-2-12$$$$\hspace{ 10 pt}-2x=-14$$$$\hspace{ 23 pt}x=7$$よって、答えは \(x=7\) となります。

 

今回のまとめ

等差数列の性質については、それぞれパターンとして解法と計算をおぼえておきましょう。

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