等差数列の性質

2018.05.112020.06.09

等差数列の性質
問題解説：等差数列の性質
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

等差数列の性質

Point：等差数列の性質等差数列の一般項より、$n$ について整理すると、$$~~~a_n=a+(n-1)d$$$$\hspace{ 21 pt}=a+nd-d$$$$\hspace{ 21 pt}=dn+(a-d)$$よって、一般項が $n$ の１次式ならば等差数列となります。

また、一般項が与えられたときは $a_{n+1}$ を求めて、

$$a_{n+1}-a_n=d$$

この式より公差 $d$ を求めます。

Point：等差中項

数列 $a,b,c$ がこの順に等差数列となる

$$~~~\Leftrightarrow~ 2b=a+c~~~$$

「(中項)×２＝(両端の和)」と覚えましょう。

問題解説：等差数列の性質

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
${\small (1)}$ 一般項が $a_n=3n-1$ で表される数列 $\{a_n\}$ はどのような数列か答えよ。

$a_n=3n-1$ より、$n\to n+1$ とすると、$$~~~a_{n+1}=3(n+1)-1$$$$\hspace{ 30 pt}=3n+3-1$$$$\hspace{ 30 pt}=3n+2$$よって、すべての自然数 $n$ について、$$~~~~~~a_{n+1}-a_n$$$$~=(3n+2)-(3n-1)$$$$~=3n+2-3n+1$$$$~=3$$

また、$n=1$ のとき、$$~~~a_1=3\cdot1-1$$$$\hspace{ 21 pt}=3-1$$$$\hspace{ 21 pt}=2$$
したがって、数列 $\{a_n\}$ は初項 $2$ で、公差 $3$ の等差数列となります。

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
${\small (2)}$ ３つの数 $x-4~,~6~,~x+2$ がこの順に等差数列となるとき、$x$ の値を求めよ。

$$~~~x-4~,~6~,~x+2$$この順に等差数列になることより、$$\hspace{ 10 pt}2\times6=(x-4)+(x+2)$$$$\hspace{ 22 pt}12=x-4+x+2$$$$\hspace{ 22 pt}12=2x-2$$移項して、 $-2$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}-2x=-2-12$$$$\hspace{ 10 pt}-2x=-14$$$$\hspace{ 23 pt}x=7$$よって、答えは $x=7$ となります。