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問題｜2つのベクトルのなす角
平面上のベクトル 27\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)~,~ \overrightarrow{b}=(3~,~ 1)\) のなす角 \(\theta\) の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
2つのベクトルのなす角
Point：2つのベクトルのなす角
\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\end{array}\,\right)\)
のとき、ベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) は、
① 成分より内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&a_1\,b_1+a_2\,b_2
\end{eqnarray}\)
※ 内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積。
② 成分より、それぞれの大きさを求める。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{a_1^{\,2}+a_2^{\,2}}~,~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{b_1^{\,2}+b_2^{\,2}}
\end{eqnarray}\)
③ 内積の定義の式に①と②の結果を代入し \(\cos\theta\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,||\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[5pt]\hspace{10pt}~\Leftrightarrow ~ \cos\theta=\displaystyle\frac{\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,}{\,|\,\overrightarrow{a}\,||\,\overrightarrow{b}\,|\,}
\end{eqnarray}\)
④ \(\cos\theta\) からなす角 \(\theta\) の値を求める。
ただし、\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\)
2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) の成分が、
\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\end{array}\,\right)\)
のとき、ベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) は、
① 成分より内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&a_1\,b_1+a_2\,b_2
\end{eqnarray}\)
※ 内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積。
② 成分より、それぞれの大きさを求める。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{a_1^{\,2}+a_2^{\,2}}~,~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{b_1^{\,2}+b_2^{\,2}}
\end{eqnarray}\)
③ 内積の定義の式に①と②の結果を代入し \(\cos\theta\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,||\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[5pt]\hspace{10pt}~\Leftrightarrow ~ \cos\theta=\displaystyle\frac{\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,}{\,|\,\overrightarrow{a}\,||\,\overrightarrow{b}\,|\,}
\end{eqnarray}\)
④ \(\cos\theta\) からなす角 \(\theta\) の値を求める。
ただし、\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\)
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詳しい解説｜2つのベクトルのなす角
平面上のベクトル 27
\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)~,~ \overrightarrow{b}=(3~,~ 1)\) のなす角 \(\theta\) の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]1\end{array}\,\right)\) より、
内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&1{\, \small \times \,}3+2{\, \small \times \,}1
\\[3pt]~~~&=&3+2
\\[3pt]~~~&=&5~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、それぞれのベクトルの大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{\,1^2+2^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{\,3^2+1^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{10}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
内積の定義の式 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\) に、
\({\small[\,1\,]}\)〜\({\small[\,3\,]}\) の値を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~5&=&\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\cdot\cos\theta
\\[3pt]~~~5&=&5\sqrt{2}\cos\theta
\\[3pt]~~~5\sqrt{2}\cos\theta&=&5
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}
\end{eqnarray}\)
\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=45^\circ\) となる
