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円のベクトル方程式

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今回の問題は「円のベクトル方程式」です。

問題平面上の定点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})\) と任意の点 \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) に対して、次のベクトルはどんな図形を示すか答えよ。$${\small (1)}~|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=3$$$${\small (2)}~|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$$$${\small (3)}~|2\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|=6$$

 

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円のベクトル方程式の解法

Point:円のベクトル方程式点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})\) を中心として、半径 \(r\) の円は円上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) とすると、

\(|\overrightarrow{\rm AP}|=r\) より、

$$|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=r$$

となり、これを円のベクトル方程式といいます。

 

問題解説:円のベクトル方程式

問題解説(1)

問題平面上の定点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})\) と任意の点 \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) に対して、次のベクトルはどんな図形を示すか答えよ。$${\small (1)}~|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=3$$

式より、$$~~~|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=3$$点 \({\rm A}\) を中心とし、半径 \(3\) の円となります。

 

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$$

式より、$$~~~|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$$ここで、右辺の \(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\) は線分 \({\rm AB}\) の大きさとなります。
よって、点 \({\rm A}\) を中心とし、線分 \({\rm AB}\) が半径の円となります。

 

問題解説(3)

問題$${\small (3)}~|2\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|=6$$

式より、$$\hspace{ 10 pt}|2\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|=6$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\left| \overrightarrow{p}-\frac{\overrightarrow{b}}{2} \right|=3$$ここで、\({\large \frac{\overrightarrow{b}}{2}}\) は原点 \({\rm O}\) と点 \({\rm B}\) との中点 \({\rm B’}\) となります。
よって、原点 \({\rm O}\) と点 \({\rm B}\) との中点 \({\rm B’}\) を中心とし、半径 \(3\) の円となります。

 

今回のまとめ

円のベクトル方程式の問題は、基本の円のベクトル方程式の形と覚えておき、その式に式変形する方法をおさえておきましょう。

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