円のベクトル方程式

2018.11.172020.06.09

円のベクトル方程式の解法
問題解説：円のベクトル方程式
今回のまとめ

円のベクトル方程式の解法

Point：円のベクトル方程式点 ${\rm A}(\overrightarrow{a})$ を中心として、半径 $r$ の円は円上の任意の点を ${\rm P}(\overrightarrow{p})$ とすると、

$|\overrightarrow{\rm AP}|=r$ より、

$$|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=r$$

となり、これを円のベクトル方程式といいます。

問題解説：円のベクトル方程式

問題解説(1)

問題平面上の定点 ${\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})$ と任意の点 ${\rm P}(\overrightarrow{p})$ に対して、次のベクトルはどんな図形を示すか答えよ。$${\small (1)}~|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=3$$

式より、$$~~~|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=3$$点 ${\rm A}$ を中心とし、半径 $3$ の円となります。

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$$

式より、$$~~~|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$$ここで、右辺の $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$ は線分 ${\rm AB}$ の大きさとなります。
よって、点 ${\rm A}$ を中心とし、線分 ${\rm AB}$ が半径の円となります。

問題解説(3)

問題$${\small (3)}~|2\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|=6$$

式より、$$\hspace{ 10 pt}|2\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|=6$$両辺を $2$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\left| \overrightarrow{p}-\frac{\overrightarrow{b}}{2} \right|=3$$ここで、${\large \frac{\overrightarrow{b}}{2}}$ は原点 ${\rm O}$ と点 ${\rm B}$ との中点 ${\rm B’}$ となります。
よって、原点 ${\rm O}$ と点 ${\rm B}$ との中点 ${\rm B’}$ を中心とし、半径 $3$ の円となります。