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法線ベクトル

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今回の問題は「法線ベクトル」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 点 \({\rm A}(1~,~3)\) を通り、\(\overrightarrow{n}=(-2~,~1)\) が法線ベクトルである直線の方程式を求めよ。
\({\small (2)}\) 次の2直線のなす角 \(\theta\) を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦90^\circ\) とする。
\(~~~~3x+2y-1=0~,~5x-y+7=0\)

 

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法線ベクトルと直線の方程式

Point:法線ベクトル
定点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})\) を通り、\(\overrightarrow{0}\) でないベクトル \(\overrightarrow{n}\) に垂直な直線 \(l\) のベクトル方程式は、垂直の条件より内積が 0 となるので、

$$\overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0$$

これより、\(\overrightarrow{n}\) を直線 \(l\) の法線ベクトルといいます。

Point:法線ベクトルと直線の方程式

(1) 点 \({\rm A}(x_0~,~y_0)\) を通り、\(\overrightarrow{n}=(a~,~b)\) が法線ベクトルである直線の方程式は、

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$$

となります。
 
(2) 直線 \(ax+by+c=0\) において、\(\overrightarrow{n}\) を法線ベクトルとするとその成分は、

$$\overrightarrow{n}=(a~,~b)$$

となります。

Point:2直線のなす角と法線ベクトル

(2直線のなす角)=(法線ベクトルのなす角)
これより、法線ベクトルの成分と内積の計算をして、なす角を求めましょう。

 

問題解説:法線ベクトル

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 点 \({\rm A}(1~,~3)\) を通り、\(\overrightarrow{n}=(-2~,~1)\) が法線ベクトルである直線の方程式を求めよ。

点 \({\rm A}(1~,~3)\) を通り、\(\overrightarrow{n}=(-2~,~1)\) が法線ベクトルとなるので、直線の方程式は、$$\hspace{ 10 pt}-2\cdot(x-1)+1\cdot(y-3)=0$$$$\hspace{ 46 pt}-2x+2+y-3=0$$$$\hspace{ 64 pt}-2x+y-1=0$$両辺に \(-1\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}2x-y+1=0$$
よって、答えは$$~~~2x-y+1=0$$となります。

 

問題解説(2)

問題\({\small (2)}\) 次の2直線のなす角 \(\theta\) を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦90^\circ\) とする。
\(~~~~3x+2y-1=0~,~5x-y+7=0\)

それぞれの法線ベクトルを \(\overrightarrow{m}~,~\overrightarrow{n}\) とすると、$$~~~\overrightarrow{m}=(3~,~2)~,~\overrightarrow{n}=(5~,~-1)$$となります。
また、それぞれの大きさは$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{m}|=\sqrt{3^2+2^2}$$$$\hspace{ 29 pt}=\sqrt{9+4}$$$$\hspace{ 29 pt}=\sqrt{13}$$また、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{n}|=\sqrt{5^2+(-1)^2}$$$$\hspace{ 29 pt}=\sqrt{25+1}$$$$\hspace{ 29 pt}=\sqrt{26}$$
次に \(\overrightarrow{m}~,~\overrightarrow{n}\) の成分による内積は、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=3\cdot5+2\cdot(-1)$$$$\hspace{ 41 pt}=15-2$$$$\hspace{ 41 pt}=13$$
よって、\(\overrightarrow{m}~,~\overrightarrow{n}\) のなす角を \(\theta\) としたときの内積の式は$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|\cos{\theta}$$値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}13=\sqrt{13}\cdot\sqrt{26}\cdot\cos{\theta}$$$$\hspace{ 10 pt}13=13\sqrt{2}\cos{\theta}$$両辺を \(13\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}1=\sqrt{2}\cos{\theta}$$両辺を入れ替えると$$\hspace{ 10 pt}\sqrt{2}\cos{\theta}=1$$両辺を \(\sqrt{2}\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$\(0^\circ≦\theta≦90^\circ\) の範囲で \(\theta\) を求めると、$$\hspace{ 10 pt}\theta=45^\circ$$
法線ベクトルのなす角と2直線のなす角は一致するので、答えは \(45^\circ\) となります。

 

今回のまとめ

法線ベクトルに関しては、直線の方程式からそれ法線ベクトルを求めれるようになりましょう。また、2直線のなす角を法線ベクトルを用いて求める解法の手順を覚えておきましょう。

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