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ベクトルと点の存在範囲

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今回の問題は「ベクトルと点の存在範囲」です。

問題\(\triangle {\rm OAB}\) に対して、\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\) とする実数 \(s~,~t\) が次の条件を満たすとき、点 \({\rm P}\) の存在範囲を求めよ。$${\small (1)}~s+t=2~,~s≧0~,~t≧0$$$${\small (2)}~s+t≦\frac{1}{2}~,~s≧0~,~t≧0$$

 

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ベクトルと点の存在範囲の解法

Point:ベクトルと点の存在範囲2点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})\) と任意の点 \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) が \(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\) を満たし、
(1) 次の式を満たすとき、点 \({\rm P}\) は直線 \({\rm AB}\) 上にあります。

$$s+t=1$$


 
(2) 次の式を満たすとき、点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AB}\) 上にあります。

$$s+t=1~,~s≧0~,~t≧0$$


 
(3) 次の式を満たすとき、点 \({\rm P}\) は \(\triangle {\rm OAB}\) の周および内部にあります。

$$s+t≦1~,~s≧0~,~t≧0$$

 

問題解説:ベクトルと点の存在範囲

問題解説(1)

問題\(\triangle {\rm OAB}\) に対して、\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\) とする実数 \(s~,~t\) が次の条件を満たすとき、点 \({\rm P}\) の存在範囲を求めよ。$${\small (1)}~s+t=2~,~s≧0~,~t≧0$$

$$\hspace{ 10 pt}s+t=2$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{s}{2}+\frac{t}{2}=1$$ここで、$$~~~\frac{s}{2}=s’~,~\frac{t}{2}=t’$$とすると、$$~~~s’+t’=1~,~s’≧0~,~t’≧0$$となります。
次に \(\overrightarrow{\rm OP}\) は、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm OP}$$$$~=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}$$$$~=\frac{s}{2}(2\overrightarrow{\rm OA})+\frac{t}{2}(2\overrightarrow{\rm OB})$$\(s’~,~t’\) を用いると、$$~=s'(2\overrightarrow{\rm OA})+t'(2\overrightarrow{\rm OB})$$
ここで、$$~~~\overrightarrow{\rm OA’}=2\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}=2\overrightarrow{\rm OB}$$を満たす点 \({\rm A’~,~B’}\) をとると、$$~~~\overrightarrow{\rm OP}=s’\overrightarrow{\rm OA’}+t’\overrightarrow{\rm OB’}$$$$~~~s’+t’=1~,~s’≧0~,~t’≧0$$
これより、点 \({\rm P}\) の存在範囲は線分 \({\rm A’B’}\) 上となります。

 

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~s+t≦\frac{1}{2}~,~s≧0~,~t≧0$$

$$\hspace{ 10 pt}s+t≦\frac{1}{2}$$両辺に \(2\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}2s+2t≦1$$ここで、$$~~~2s=s’~,~2t=t’$$とすると、$$~~~s’+t’≦1~,~s’≧0~,~t’≧0$$となります。
次に \(\overrightarrow{\rm OP}\) は、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm OP}$$$$~=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}$$$$~=2s\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\rm OA}\right)+2t\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}\right)$$\(s’~,~t’\) を用いると、$$~=s’\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\rm OA}\right)+t’\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}\right)$$
ここで、$$~~~\overrightarrow{\rm OA’}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}$$を満たす点 \({\rm A’~,~B’}\) をとると、$$~~~\overrightarrow{\rm OP}=s’\overrightarrow{\rm OA’}+t’\overrightarrow{\rm OB’}$$$$~~~s’+t’≦1~,~s’≧0~,~t’≧0$$
これより、点 \({\rm P}\) の存在範囲は \(\triangle {\rm OA’B’}\) の周および内部となります。

 

今回のまとめ

ベクトルと点の存在範囲は、条件式を \(=1\) として強引に式変形していく解法を覚えておきましょう。

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