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指数関数の最大値・最小値

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今回の問題は「指数関数の最大値・最小値」です。

問題次の関数の最大値と最小値を求めよ。$$~~~y=3^{2x}-2\cdot3^x+4~~~(-1≦x≦1)$$

 

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指数関数の最大値・最小値の求め方

Point:指数関数の最大値・最小値解法の手順は、
① 与えられた式を \(a^x=t\) と置き換えるための式変形をします。
例えば、$$~~~9^x=(3^2)^x=(3^x)^2$$$$~~~2^{x+1}=2^x\cdot2^1=2\cdot2^x$$このような式変形をしましょう。
\(a^x=t\) と置き換えて2次関数とします。このとき、\(x\) の定義域を用いて \(t\) の値の範囲を求めます。
③ \(t\) の2次関数を平方完成して、\(t\) の定義域より最大値と最小値を求めます。
④ \(t=a^x\) と元に戻して最大値・最小値をとる \(x\) の値を求めます。

 

問題解説:指数関数の最大値・最小値

問題次の関数の最大値と最小値を求めよ。$$~~~y=3^{2x}-2\cdot3^x+4~~~(-1≦x≦1)$$

$$~~~3^{2x}=(3^x)^2$$これより、与えられた式は、$$\hspace{ 10 pt}y=(3x)^2-2\cdot3^x+4$$ここで、\(3^x=t\) として置き換えると、$$\hspace{ 10 pt}y=t^2-2t+4~~~\cdots{\large ①}$$また、定義域が \(-1≦x≦1\) より、$$\hspace{ 10 pt}-1≦x≦1$$底を \(3\) とする累乗の形にすると、$$\hspace{ 10 pt}3^{-1}≦3^x≦3^{1}$$\(3^x=t\) より、$$\hspace{ 10 pt}\frac{1}{3}≦t≦3$$となります。
①の式を平方完成していくと、$$\hspace{ 10 pt}y=t^2-2t+4$$$$\hspace{ 18 pt}=t^2-2t+1-1+4$$$$\hspace{ 18 pt}=(t-1)^2+3$$よって、頂点が \((1~,~-3)\) で下に凸のグラフとなり、定義域が$$~~~\frac{1}{3}≦t≦3$$となることより、

グラフより、
\(t=3\) のときに最大値
\(t={\large \frac{1}{3}}\) のときに最小値をとります。
 
\(t=3\) のとき、①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}y=3^2-2\cdot3+4$$$$\hspace{ 18 pt}=9-6+4$$$$\hspace{ 18 pt}=7$$また、\(t=3^x\) より、$$\hspace{ 10 pt}3^x=3$$$$\hspace{ 14 pt}x=1$$よって、\(x=1\) のときに最大値 \(7\) となります。
 
\(t={\large \frac{1}{3}}\) のとき、頂点の \(y\) 座標が最小値となるので、\(3\) となります。
また、\(t=3^x\) より$$\hspace{ 10 pt}3^x=\frac{1}{3}$$$$\hspace{ 10 pt}3^x=3^{-1}$$$$\hspace{ 14 pt}x=-1$$よって、\(x=-1\) のときに最小値 \(3\) となります。
 
したがって、答えは
 \(x=1\) のときに最大値 \(7\)
 \(x=-1\) のときに最小値 \(3\)
となります。

 

今回のまとめ

指数関数の最大値と最小値の問題は、置き換えて2次関数として解きましょう。また、定義域も置き換えて \(t\) の範囲とすることを忘れないようにしましょう。

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