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指数と対数

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今回の問題は「指数と対数」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の値を \(p=\log_{a}M\) に書き換えよ。$$~{\large ①}~9^{\large \frac{1}{2}}=3\hspace{ 30 pt}{\large ②}~10^{-2}=0.01$$\({\small (2)}\) 次の値を \(a^p=M\) に書き換えよ。$$~{\large ①}~\log_{2}\frac{1}{8}=-3\hspace{ 20 pt}{\large ②}~\log_{5}\sqrt[\large 3]{5}=\frac{1}{3}$$

 

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対数の定義

Point:対数の定義\(a>0~,~a\neq1\) で \(a^p=M\) を満たすとき、

$$p=\log_{a}M$$

これを対数といい、\(a\) を底、\(M\) を真数という。
また、真数条件 \(M>0\) が成り立ちます。
 
また、指数と比較すると、

$$a^p=M~\Leftrightarrow~p=\log_{a}M$$

であるので、
 指数の底 \(a\) = 対数の底 \(a\)
 累乗の部分 \(p\) = 対数の値 \(p\)
 指数の値 \(M\) = 真数部分 \(M\)
となります。

 

問題解説:指数と対数

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の値を \(p=\log{a}M\) に書き換えよ。$$~{\large ①}~9^{\large \frac{1}{2}}=3\hspace{ 30 pt}{\large ②}~10^{-2}=0.01$$

$${\large ①} ~9^{\large \frac{1}{2}}=3$$定義より、
底→底、累乗→対数の値、指数の値→真数
となるので、答えは$$~~~\frac{1}{2}=\log_{9}3$$
【別解】
両辺を \(\log_{9}\) でとると、$$\hspace{ 18 pt}\log_{9}9^{\large \frac{1}{2}}=\log_{9}3$$$$\hspace{ 10 pt}\frac{1}{2}\cdot \log_{9}9=\log_{9}3$$$$\hspace{ 40 pt}\frac{1}{2}=\log_{9}3$$
 
$${\large ②} ~10^{-2}=0.01$$定義より、
底→底、累乗→対数の値、指数の値→真数
となるので、答えは$$~~~-2=\log_{10}0.01$$
【別解】
両辺を \(\log_{10}\) でとると$$\hspace{ 20 pt}\log_{10}10^{-2}=\log_{10}0.01$$$$\hspace{ 10 pt}-2\cdot\log_{10}10=\log_{10}0.01$$$$\hspace{ 50 pt}-2=\log_{10}0.01$$

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}\) 次の値を \(a^p=M\) に書き換えよ。$$~{\large ①}~\log_{2}\frac{1}{8}=-3\hspace{ 20 pt}{\large ②}~\log_{5}\sqrt[\large 3]{5}=\frac{1}{3}$$

$${\large ①} ~\log_{2}\frac{1}{8}=-3$$定義より、
底→底、真数→指数の値、対数の値→累乗
となるので、答えは$$~~~2^{-3}=\frac{1}{8}$$
【別解】
\(-3=-3\cdot\log_{2}2\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}\log_{2}\frac{1}{8}=-3\cdot\log_{2}2$$$$\hspace{ 10 pt}\log_{2}\frac{1}{8}=\log_{2}{2^{-3}}$$真数部分のみを比較すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{1}{8}=2^{-3}$$よって、$$~~~2^{-3}=\frac{1}{8}$$
 
$${\large ②}~\log_{5}\sqrt[\large 3]{5}=\frac{1}{3}$$定義より、
底→底、真数→指数の値、対数の値→累乗
となるので、答えは$$~~~5^{\large \frac{1}{3}}=\sqrt[\large 3]{5}$$
【別解】$$~~~\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\cdot\log_{5}5$$とすると、$$\hspace{ 10 pt}\log_{5}\sqrt[\large 3]{5}=\frac{1}{3}\cdot\log_{5}5$$$$\hspace{ 10 pt}\log_{5}\sqrt[\large 3]{5}=\log_{5}5^{\large \frac{1}{3}}$$真数部分のみを比較すると、$$\hspace{ 10 pt}\sqrt[\large 3]{5}=5{\large \frac{1}{3}}$$よって、$$~~~5^{\large \frac{1}{3}}=\sqrt[\large 3]{5}$$

 

今回のまとめ

指数と対数の変換はどちらからもできるように練習しておきましょう。また、両辺を同じ底の対数で表す方法もおさえておきましょう。

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