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対数の値

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今回の問題は「対数の値」です。

問題次の式の値を求めよ。$${\small (1)}~\log_{3}{81}$$$${\small (2)}~\log_{7}1$$$${\small (3)}~\log_{5}5$$$${\small (4)}~\log_{3}\frac{1}{9}$$$${\small (5)}~\log_{2}\sqrt{32}$$

 

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対数の値の求め方

Point:対数の値解法の手順は、
真数を累乗の形に式変形します。$$~~~\log_{a}a^p$$② 真数の累乗部分は、対数の係数にします。$$~~~\log_{a}a^p=p\cdot\log_{a}a$$③ \(\log_{a}a=1\) より、値を求めます。$$~~~p\cdot\log_{a}a=p$$
また、次の値は覚えておきましょう。

$$~{\small (1)}~\log_{a}a=1~$$$$~{\small (2)}~\log_{a}1=0~$$$$~{\small (3)}~\log_{a}\frac{1}{a}=-1~$$

 

問題解説:対数の値

問題解説(1)

問題次の式の値を求めよ。$${\small (1)}~\log_{3}{81}$$

$$~~~~~~\log_{3}{81}$$真数部分が \(81=3^4\) より、$$~=\log_{3}3^4$$$$~=4\cdot\log_{3}3$$$$~=4$$よって、答えは \(4\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の式の値を求めよ。 $${\small (2)}~\log_{7}1$$

$$~~~~~~ \log_{7}1$$真数部分が \(1=7^0\) より、$$~=\log_{7}7^0$$$$~=0\cdot\log_{7}7$$$$~=0$$よって、答えは \(0\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の式の値を求めよ。 $${\small (3)}~\log_{5}5$$

$$~~~~~~ \log_{5}5$$真数部分が \(5=5^1\) より、$$~=\log_{5}5^1$$$$~=1\cdot\log_{5}5$$$$~=1$$よって、答えは \(1\) となります。

 

問題解説(4)

問題次の式の値を求めよ。 $${\small (4)}~\log_{3}\frac{1}{9}$$

$$~~~~~~\log_{3}\frac{1}{9}$$真数部分が \({\large \frac{1}{9}}=3^{-2}\) より、$$~=\log_{3}3^{-2}$$$$~=-2\cdot\log_{3}3$$$$~=-2$$よって、答えは \(-2\) となります。

 

問題解説(5)

問題次の式の値を求めよ。 $${\small (5)}~\log_{2}\sqrt{32}$$

$$~~~~~~ \log_{2}\sqrt{32}$$真数部分が \(\sqrt{32}=2^{\large \frac{5}{2}}\) より、$$~=\log_{2}2^{\large \frac{5}{2}}$$$$~=\frac{5}{2}\cdot\log_{2}2$$$$~=\frac{5}{2}$$よって、答えは \({\large \frac{5}{2}}\) となります。

 

今回のまとめ

対数の値を求めるときは、真数部分を累乗の形に式変形する方法で解いていきましょう。また、真数が \(1\) や底と同じときの値は覚えておきましょう。

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