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対数の計算

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今回の問題は「対数の計算」です。

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~\log_{4}8+\log_{4}2$$$${\small (2)}~\log_{2}24-\frac{1}{2}\log_{2}9$$$${\small (3)}~\frac{1}{2}\log_{2}27-\log_{2}9+\log_{2}\sqrt{3}$$$${\small (4)}~\log_{3}18-2\log_{3}2+\log_{3}6$$

 

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対数の計算方法

Point:対数の性質\(a>0\) \(,\) \(a\neq1\) \(,\) \(M>0\) \(,\) \(N>0\) \(k\) が実数のとき、

$$~{\small (1)}~\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N~$$$$~{\small (2)}~\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N~$$$$~{\small (3)}~\log_{a}M^k=k\log_{a}M~$$

解法の手順は、
底が揃っていることを確認します。
② 対数の係数を真数の累乗の部分にもっていきます。
③ 対数の性質より、計算します。
 対数のたし算→真数のかけ算
 対数のひき算→真数のわり算
これらを用いて1つの対数で表します。
真数部分の指数を整理して計算します。

 

問題解説:対数の計算

問題解説(1)

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~\log_{4}8+\log_{4}2$$

$$~~~~~~\log_{4}8+\log_{4}2$$対数のたし算は真数のかけ算となるので、$$~=\log_{4}(8\times2)$$$$~=\log_{4}16$$真数部分を計算すると、$$~=\log_{4}4^2$$$$~=2\cdot\log_{4}4$$$$~=2$$よって、答えは \(2\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の計算をせよ。 $${\small (2)}~\log_{2}24-\frac{1}{2}\log_{2}9$$

$$~~~~~~\log_{2}24-\frac{1}{2}\log_{2}9$$係数を真数の累乗部分にもっていくと、$$~=\log_{2}24-\log_{2}9^{\large \frac{1}{2}}$$$$~=\log_{2}24-\log_{2}(3^2)^{\large \frac{1}{2}}$$$$~=\log_{2}24-\log_{2}3$$対数のひき算は真数のわり算となるので、$$~=\log_{2}\frac{24}{3}$$$$~=\log_{2}8$$真数部分を計算すると、$$~=\log_{2}2^3$$$$~=3\cdot\log_{2}2$$$$~=3$$よって、答えは \(3\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の計算をせよ。 $${\small (3)}~\frac{1}{2}\log_{2}27-\log_{2}9+\log_{2}\sqrt{3}$$

$$~~~~~~\frac{1}{2}\log_{2}27-\log_{2}9+\log_{2}\sqrt{3}$$係数を真数の累乗部分にもっていくと、$$~=\log_{2}27^{\large \frac{1}{2}}-\log_{2}9+\log_{2}\sqrt{3}$$対数のたし算は真数のかけ算、対数のひき算は真数のわり算であるので、$$~=\log_{2}\left(27^{\large \frac{1}{2}}\div9\times\sqrt{3}\right)$$真数部分の計算をすると、$$~=\log_{2}\left\{(3^3)^{\large \frac{1}{2}}\div3^2\times3^{\large \frac{1}{2}}\right\}$$$$~=\log_{2}\left(3^{\large \frac{3}{2}}\div3^2\times3^{\large \frac{1}{2}}\right)$$$$~=\log_{2}3^{{\large \frac{3}{2}}-2+{\large \frac{1}{2}}}$$$$~=\log_{2}3^0$$$$~=0\cdot\log_{2}3$$$$~=0$$よって、答えは \(0\) となります。

 

問題解説(4)

問題次の計算をせよ。 $${\small (4)}~\log_{3}18-2\log_{3}2+\log_{3}6$$

$$~~~~~~\log_{3}18-2\log_{3}2+\log_{3}6$$係数を真数の累乗部分にもっていくと、$$~=\log_{3}18-\log_{3}2^2+\log_{3}6$$$$~=\log_{3}18-\log_{3}4+\log_{3}6$$対数のたし算は真数のかけ算、対数のひき算は真数のわり算であるので、$$~=\log_{3}(18\div4\times6)$$$$~=\log_{3}27$$真数部分を計算すると、$$~=\log_{3}3^3$$$$~=3\cdot\log_{3}3$$$$~=3$$よって、答えは \(3\) となります。

 

今回のまとめ

対数の計算では、初めに対数の係数を真数の累乗部分にもっていく計算をしましょう。対数のたし算は真数のかけ算、対数のひき算は真数のわり算が基本となります。

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