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底の変換公式

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今回の問題は「底の変換公式」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の値を底の変換公式を用いて求めよ。$$~{\large ①}~\log_{9}27\hspace{ 30 pt}{\large ②}~\log_{{\large \frac{1}{2}}}32$$$$~{\large ③}~\log_{8}\sqrt{2}$$\({\small (2)}\) 次の計算をせよ。$$~{\large ①}~2\log_{3}6-\log_{9}16$$$$~{\large ②}~\log_{8}3\cdot\log_{9}25\cdot\log_{5}4$$

 

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底の変換公式

Point:底の変換公式\(a>0\) \(,\) \(a\neq1\) \(,\) \(b>0\) \(,\) \(b\neq1\) \(,\) \(c>0\) \(,\) \(c\neq1\) のとき、

$$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$$

\(c\) の値は \(c>0\) \(,\) \(c\neq1\) であればどんな値でもよいです。問題中の値より、\(c\) の値は選びましょう。
 
また、次の式も覚えておきましょう。

$$\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$$

 

問題解説:底の変換公式

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の値を底の変換公式を用いて求めよ。$$~{\large ①}~\log_{9}27\hspace{ 30 pt}{\large ②}~\log_{{\large \frac{1}{2}}}32$$$$~{\large ③}~\log_{8}\sqrt{2}$$

$${\large ①}~\log_{9}27$$\(9=3^2~,~27=3^3\) より、底を \(3\) として底の変換公式を用いると、$$~~~~~~\log_{9}27$$$$~=\frac{\log_{3}27}{\log_{3}9}$$$$~=\frac{\log_{3}3^3}{\log_{3}3^2}$$$$~=\frac{3\cdot\log_{3}3}{2\cdot\log_{3}3}$$$$~=\frac{3}{2}$$よって、答えは$$~~~\frac{3}{2}$$となります。
 
$${\large ②}~\log_{{\large \frac{1}{2}}}32$$\({\large \frac{1}{2}}=2^{-1}~,~32=2^5\) より、底を \(2\) として底の変換公式を用いると、$$~~~~~~\log_{{\large \frac{1}{2}}}32$$$$~=\frac{\log_{2}32}{\log_{2}\frac{1}{2}}$$$$~=\frac{\log_{2}2^5}{\log_{2}2^{-1}}$$$$~=\frac{5\cdot\log_{2}2}{-1\cdot\log_{2}2}$$$$~=\frac{5}{-1}$$$$~=-5$$よって、答えは \(-5\) となります。
 
$${\large ③}~\log_{8}\sqrt{2}$$\(8=2^3~,~\sqrt{2}=2^{\large \frac{1}{2}}\) より、底を \(2\) として底の変換公式を用いると、$$~~~~~~\log_{8}\sqrt{2}$$$$~=\frac{\log_{2}\sqrt{2}}{\log_{2}8}$$$$~=\frac{\log_{2}2^{\large \frac{1}{2}}}{\log_{2}2^3}$$$$~=\frac{{\large \frac{1}{2}}\cdot\log_{2}2}{3\cdot\log_{2}2}$$$$~=\frac{{\large \frac{1}{2}}}{3}$$$$~=\frac{{\large \frac{1}{2}}\times2}{3\times2}$$$$~=\frac{1}{6}$$よって、答えは$$~~~\frac{1}{6}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}\) 次の計算をせよ。$$~{\large ①}~2\log_{3}6-\log_{9}16$$$$~{\large ②}~\log_{8}3\cdot\log_{9}25\cdot\log_{5}4$$

$${\large ①}~2\log_{3}6-\log_{9}16$$底を \(3\) として底の変換公式を用いると、$$~~~~~~2\log_{3}6-\log_{9}16$$$$~=2\log_{3}6-\frac{\log_{3}16}{\log_{3}9}$$$$~=2\log_{3}6-\frac{\log_{3}16}{\log_{3}3^2}$$$$~=2\log_{3}6-\frac{\log_{3}16}{2\cdot\log_{3}3}$$$$~=2\log_{3}6-\frac{\log_{3}16}{2}$$後半の項の \(\div2\) を \({\large \frac{1}{2}}\) として係数にすると、$$~=2\log_{3}6-\frac{1}{2}\log_{3}16$$係数を真数の累乗部分にもっていくと、$$~=\log_{3}6^2-\log_{3}16^{\large \frac{1}{2}}$$$$~=\log_{3}36-\log_{3}(4^2)^{\large \frac{1}{2}}$$$$~=\log_{3}36-\log_{3}4$$対数のひき算は真数のわり算となるので、$$~=\log_{3}\frac{36}{4}$$$$~=\log_{3}9$$$$~=\log_{3}3^2$$$$~=2\cdot\log_{3}3$$$$~=2$$よって、答えは \(2\) となります。
 
$$~{\large ②}~\log_{8}3\cdot\log_{9}25\cdot\log_{5}4$$底を \(2\) として底の変換公式を用いると、$$~~~~~~\log_{8}3\cdot\log_{9}25\cdot\log_{5}4$$$$~=\frac{\log_{2}3}{\log_{2}8}\cdot\frac{\log_{2}25}{\log_{2}9}\cdot\frac{\log_{2}4}{\log_{2}5}$$$$~=\frac{\log_{2}3}{\log_{2}2^3}\cdot\frac{\log_{2}5^2}{\log_{2}3^2}\cdot\frac{\log_{2}2^2}{\log_{2}5}$$$$~=\frac{\log_{2}3}{3\cdot\log_{2}2}\cdot\frac{2\cdot\log_{2}5}{2\cdot\log_{2}3}\cdot\frac{2\cdot\log_{2}2}{\log_{2}5}$$同じ対数を約分していくと、$$~=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{1}$$$$~=\frac{2}{3}$$よって、答えは$$~~~\frac{2}{3}$$となります。

 

今回のまとめ

底の変換公式を使うときは、問題中から変換すべき新しい底の値を選びましょう。変換した後は対数の性質を用いて計算しましょう。

【問題一覧】数学Ⅱ:指数関数と対数関数
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