Twitterフォローよろしくお願いします!

対数関数の式の値

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「対数関数の式の値」です。

問題\(a=\log_{10}2~,~b=\log_{10}3\) とするとき、次の式を \(a~,~b\) を用いて表せ。$${\small (1)}~\log_{10}24$$$${\small (2)}~\log_{10}5$$$${\small (3)}~\log_{2}3$$

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

対数関数の式の値の求め方

Point:対数関数の式の値\(a=\log_{10}2~,~b=\log_{10}3\) などで対数の値を文字で表すとき、
① 与えられた式の真数をかけ算やわり算で表します。このとき、置き換える数を用いて表しましょう。$$~~~6=2\times3$$$$~~~12=2^2\times3$$$$~~~5=10\div2$$② 真数がかけ算やわり算の形になっているので、対数の性質より対数のたし算やひき算に分解します。

$$\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N$$$$\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$$

文字で置き換えて答えを求めます。

 

問題解説:対数関数の式の値

問題解説(1)

問題\(a=\log_{10}2~,~b=\log_{10}3\) とするとき、次の式を \(a~,~b\) を用いて表せ。$${\small (1)}~\log_{10}24$$

与えられた式は \(24=2^3\times3\) より、$$~~~~~~\log_{10}24$$$$~=\log_{10}\left(2^3\times3\right)$$真数のかけ算は対数のたし算より、$$~=\log_{10}2^3+\log_{10}3$$$$~=3\log_{10}2+\log_{10}3$$\(a=\log_{10}2~,~b=\log_{10}3\) と置き換えると、$$~=3a+b$$よって、答えは \(3a+b\) となります。

 

問題解説(2)

問題\(a=\log_{10}2~,~b=\log_{10}3\) とするとき、次の式を \(a~,~b\) を用いて表せ。 $${\small (2)}~\log_{10}5$$

与えられた式は \(5=10\div2\) より、$$~~~~~~\log_{10}5$$$$~=\log_{10}(10\div2)$$真数のわり算は対数のひき算より、$$~=\log_{10}10-\log_{10}2$$$$~=1-\log_{10}2$$\(a=\log_{10}2\) と置き換えると、$$~=1-a$$よって、答えは \(1-a\) となります。

 

問題解説(3)

問題\(a=\log_{10}2~,~b=\log_{10}3\) とするとき、次の式を \(a~,~b\) を用いて表せ。 $${\small (3)}~\log_{2}3$$

底を \(10\) として底の変換公式を用いると、$$~~~~~~\log_{2}3$$$$~=\frac{\log_{10}3}{\log_{10}2}$$\(a=\log_{10}2~,~b=\log_{10}3\) と置き換えると、$$~=\frac{b}{a}$$よって、答えは$$~~~\frac{b}{a}$$となります。

 

今回のまとめ

対数の式の値を文字で表すときは、まず対数を分解する式変形をしましょう。真数部分をかけ算やわり算の形にするのがポイントです。

【問題一覧】数学Ⅱ:指数関数と対数関数
このページは「高校数学Ⅱ:指数関数と対数関数」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわ...