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指数法則を用いた計算

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今回の問題は「指数法則を用いた計算」です。

問題次の計算をせよ。ただし、\(a>0\) \(,\) \(b>0\) とする。$${\small (1)}~\left( \frac{1}{2} \right)^3\times2^5\div2^2$$$${\small (2)}~10^8\div2^5\times5^{-6}$$$${\small (3)}~(a^3b^{-1})^2\times(a^2b^{-3})^{-1}$$$${\small (4)}~\left( \frac{b^2}{a} \right)^3\times \left( \frac{b}{a^3} \right)^{-1}\div \left( \frac{b}{a} \right)^2$$

 

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指数法則を用いた計算

Point:指数法則を用いた計算解法の手順は、
底を素因数分解します。
分数は次の式より累乗の形に式変形します。

$$\frac{1}{a^n}=a^{-n}~$$

\(n\) 乗根は次の式より累乗の形に式変形します。

$$\sqrt[\large n]{a^m}=a^{\large \frac{m}{n}}~$$

④ 底が複数ある場合は、それぞれの底で式をまとめます。
指数法則を用いて指数部分の計算をします。

$$a^m\times a^n=a^{m+n}$$$$a^m\div a^n=a^{m-n}~$$$$(a^m)^n=a^{mn}~$$

 

問題解説:指数法則を用いた計算

問題解説(1)

問題次の計算をせよ。ただし、\(a>0\) \(,\) \(b>0\) とする。$${\small (1)}~\left( \frac{1}{2} \right)^3\times2^5\div2^2$$

$$~~~~~~\left( \frac{1}{2} \right)^3\times2^5\div2^2$$分数を累乗の形で表すと、$$~=(2^{-1})^3\times2^5\div2^2$$$$~=2^{-3}\times2^5\div2^2$$指数部分の計算をすると、$$~=2^{-3+5-2}$$$$~=2^0$$$$~=1$$よって、答えは \(1\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の計算をせよ。ただし、\(a>0\) \(,\) \(b>0\) とする。 $${\small (2)}~10^8\div2^5\times5^{-6}$$

$$~~~~~~10^8\div2^5\times5^{-6}$$\(10=2\times5\) より、$$~=(2\times5)^8\div2^5\times5^{-6}$$$$~=2^8\times5^8\div2^5\times5^{-6}$$それぞれの底でまとめると、$$~=2^8\div2^5\times5^8\times5^{-6}$$指数部分の計算すると、$$~=2^{8-5}\times5^{8+(-6)}$$$$~=2^3\times5^2$$$$~=8\times25$$$$~=200$$よって、答えは \(200\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の計算をせよ。ただし、\(a>0\) \(,\) \(b>0\) とする。 $${\small (3)}~(a^3b^{-1})^2\times(a^2b^{-3})^{-1}$$

$$~~~~~~(a^3b^{-1})^2\times(a^2b^{-3})^{-1}$$$$~=a^{3\times2}b^{-1\times2}\times a^{2\times(-1)}b^{-3\times(-1)}$$$$~=a^6b^{-2}\times a^{-2}b^3$$それぞれの底でまとめると、$$~=a^6\times a^{-2}\times b^{-2}\times b^3$$指数部分の計算をすると、$$~=a^{6+(-2)}b^{-2+3}$$$$~=a^4b^1$$$$~=a^4b$$よって、答えは \(a^4b\) となります。

 

問題解説(4)

問題次の計算をせよ。ただし、\(a>0\) \(,\) \(b>0\) とする。 $${\small (4)}~\left( \frac{b^2}{a} \right)^3\times \left( \frac{b}{a^3} \right)^{-1}\div \left( \frac{b}{a} \right)^2$$

$$~~~~~~\left( \frac{b^2}{a} \right)^3\times \left( \frac{b}{a^3} \right)^{-1}\div \left( \frac{b}{a} \right)^2$$分数を累乗の形で表すと、$$~=(b^2\cdot a^{-1})^3\times(b\cdot a^{-3})^{-1}\div(b\cdot a^{-1})^2$$$$~=b^6\times a^{-3}\times b^{-1} \times a^3 \div b^2 \div a^{-2}$$それぞれの底でまとめると、$$~=a^{-3}\times a^3 \div a^{-2} \times b^6 \times b^{-1} \div b^2$$指数部分の計算をすると、$$~=a^{-3+3-(-2)}b^{6+(-1)-2}$$$$~=a^2b^3$$よって、答えは \(a^2b^3\) となります。

 

今回のまとめ

指数法則を用いて計算では、すべての数を素因数分解して累乗の形にしてから計算する解法をおさえておきましょう。

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