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指数法則の拡張

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今回の問題は「指数法則の拡張」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の値を \(a^x\) の形で表せ。ただし、\(t>0\) とする。$$~{\large ①}~(\sqrt[\large 3]{t})^{-4}~~~~~~~~~~~~{\large ②}~\sqrt{\sqrt[\large 3]{t^{-4}}}$$\({\small (2)}\) 次の値を求めよ。$$~{\large ①}~8^{\large \frac{2}{3}}\hspace{ 48 pt}{\large ②}~9^{\large -\frac{1}{2}}$$$$~{\large ③}~(\sqrt[\large 6]{49})^3\hspace{ 30 pt}{\large ④}~\sqrt[\large 5]{\sqrt{1024}}$$

 

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有理数の指数法則と解法

Point:有理数の指数法則\(a>0\) で \(m~,~n\) が正の整数のとき、

$${\small (1)}~a^{\large \frac{1}{n}}=\sqrt[\large n]{a}~$$$${\small (2)}~a^{\large \frac{m}{n}}=\sqrt[\large n]{a^m}~$$

 
したがって、
指数が \(0\) $$\hspace{ 10 pt}~\Leftrightarrow~a^0=1$$
指数が負の数$$\hspace{ 10 pt}~\Leftrightarrow~a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
指数が分数$$\hspace{ 10 pt}~\Leftrightarrow~a^{\large \frac{m}{n}}=\sqrt[\large n]{a^m}$$
 
・指数計算の解法の手順
① 底にある数を素因数分解します。
\(n\) 乗根は指数の分数で表し、分数は指数の負の数で表してすべての数を累乗の形で表します。
指数部分の計算をします。$$~~~(a^m)^n=a^{mn}$$④ 簡単になった式をさらに計算します。

 

問題解説:指数法則の拡張

問題解説(1)

問題\({\small (1)}\) 次の値を \(a^x\) の形で表せ。ただし、\(t>0\) とする。$$~{\large ①}~(\sqrt[\large 3]{t})^{-4}~~~~~~~~~~~~{\large ②}~\sqrt{\sqrt[\large 3]{t^{-4}}}$$

$${\large ①}$$$$~~~~~~(\sqrt[\large 3]{t})^{-4}$$\(3\) 乗根を指数の累乗の形で表すと、$$~=(t^{\large \frac{1}{3}})^{-4}$$$$~=t^{{\large \frac{1}{3}}\times (-4)}$$$$~=t^{-{\large \frac{3}{4}}}$$よって、答えは$$~~~ t^{-{\large \frac{3}{4}}}$$となります。
 
$${\large ②}$$$$~~~~~~\sqrt{\sqrt[\large 3]{t^{-4}}}$$平方根と \(3\) 乗根をそれぞれ累乗の形で表すと、$$~=\{(t^{-4})^{\large \frac{1}{3}}\}^{\large \frac{1}{2}}$$$$~=t^{-4\times{\large \frac{1}{3}}\times{\large \frac{1}{2}}}$$$$~=t^{- {\large \frac{2}{3}}}$$よって、答えは$$~~~ t^{-{\large \frac{2}{3}}}$$となります。

 

問題解説(2)

問題\({\small (2)}\) 次の値を求めよ。$$~{\large ①}~8^{\large \frac{2}{3}}\hspace{ 48 pt}{\large ②}~9^{\large -\frac{1}{2}}$$$$~{\large ③}~(\sqrt[\large 6]{49})^3\hspace{ 30 pt}{\large ④}~\sqrt[\large 5]{\sqrt{1024}}$$

$${\large ①}$$$$~~~~~~ 8^{\large \frac{2}{3}}$$\(8\) を素因数分解すると、$$~=(2^3)^{\large \frac{2}{3}}$$$$~=2^{3\times{\large \frac{2}{3}}}$$$$~=2^2$$$$~=4$$よって、答えは \(4\) となります。
 
$${\large ②}$$$$~~~~~~9^{\large -\frac{1}{2}}$$\(9\) を素因数分解すると、$$~=(3^2)^{\large -\frac{1}{2}}$$$$~=3^{2\times(-{\large \frac{1}{2}})}$$$$~=3^{-1}$$$$~=\frac{1}{3}$$よって、答えは \({\large \frac{1}{3}}\) となります。
 
$${\large ③}$$$$~~~~~~(\sqrt[\large 6]{49})^3$$\(49\) を素因数分解し、\(6\) 乗根を累乗の形にすると、$$~=\{(7^2)^{\large \frac{1}{6}}\}^{3}$$$$~=7^{2\times{\large \frac{1}{6}}\times3}$$$$~=7^1$$$$~=7$$よって、答えは \(7\) となります。
 
$${\large ④}$$$$~~~~~~\sqrt[\large 5]{\sqrt{1024}}$$\(1024\) を素因数分解し、\(5\) 乗根と平方根をそれぞれ累乗の形にすると、$$~=\{(2^{10})^{{\large \frac{1}{2}}}\}^{{\large \frac{1}{5}}}$$$$~=2^{10\times{\large \frac{1}{2}}\times{\large \frac{1}{5}}}$$$$~=2^1$$$$~=2$$よって、答えは \(2\) となります。

 

今回のまとめ

指数法則の計算については、すべての数を累乗の形にしてから計算する解法の手順をおさえておきましょう。

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