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累乗根

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今回の問題は「累乗根」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の式の値を求めよ。$$~{\large ①}~\sqrt[{\large 5}]{32}~~~~~~{\large ②}~\sqrt[\large 3]{0.001}~~~~~~{\large ③}~\sqrt[\large 3]{-27}$$\({\small (2)}\) 次の計算をせよ。$$~{\large ①}~\sqrt[\large 3]{4}\times\sqrt[\large 3]{2}$$$$~{\large ②}~\sqrt[\large 4]{243}\div\sqrt[\large 4]{3}$$$$~{\large ③}~\sqrt[\large 3]{16}+\sqrt[\large 3]{54}$$

 

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累乗根の解法

Point:累乗根の性質\(n\) を正の整数として、\(n\) 乗して \(a\) となる数 \(a\) の \(n\) 乗根といい

$$\sqrt[\large n]{a}$$

で表します。また、\(\sqrt[\large n]{a}>0\) となります。
 
・累乗根の性質
\(a>0\) \(,\) \(b>0\) で \(m~,~n\) が正の整数のとき、

$${\small (1)}~(\sqrt[\large n]{a})^n=a~$$$${\small (2)}~\sqrt[\large n]{a^n}=a~$$

\(n\) 乗根はこれらを用いて外すことができます。
また、計算の基本法則は、

$${\small (3)}~\sqrt[\large n]{a}\sqrt[\large n]{b}=\sqrt[\large n]{ab}~$$$${\small (4)}~\frac{\sqrt[\large n]{a}}{\sqrt[\large n]{b}}=\sqrt[\large n]{\frac{a}{b}}~$$$${\small (5)}~(\sqrt[\large n]{a})^m=\sqrt[\large n]{a^m}~$$$${\small (6)}~\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}}=\sqrt[\large mn]{a}$$

~また、\(s~,~t\) を実数とするとき、

$${\small (7)}~s\sqrt[\large n]{a}\pm t\sqrt[\large n]{a}=(s \pm t)\sqrt[\large n]{a}~$$

 
計算の手順は、
① \(n\) 乗根の中の数を素因数分解します。
② 因数が複数ある場合は、性質(3)を用いて分けます。
③ \(n\) 乗根の中に \(n\) 乗の数があれば性質(2)を用いて \(n\) 乗根の外に出します。
④ 同類項をまとめのを性質(7)を用いて計算します。

 

問題解説:累乗根

問題解説(1)

問題\({\small (1)}\) 次の式の値を求めよ。$$~{\large ①}~\sqrt[\large 5]{32}~~~~~~{\large ②}~\sqrt[\large 3]{0.001}~~~~~~{\large ③}~\sqrt[\large 3]{-27}$$

$${\large ①}$$$$~~~~~~\sqrt[\large 5]{32}$$素因数分解すると、$$~=\sqrt[\large 5]{2^5}$$$$~=2$$よって、答えは \(2\) となります。
 
$${\large ②}$$$$~~~~~~\sqrt[\large 3]{0.001}$$\(0.001=(0.1)^3\) を用いると、$$~=\sqrt[\large 3]{(0.1)^3}$$$$~=0.1$$よって、答えは \(0.1\) となります。
 
【別解】$$~~~0.001=\frac{1}{1000}=\left( \frac{1}{10} \right)^3$$これを用いると、$$~~~~~~\sqrt[\large 3]{0.001}$$$$~=\sqrt[\large 3]{\left(\frac{1}{10}\right)^3}$$$$~=\frac{1}{10}$$$$~=0.1$$
 
$${\large ③}$$$$~~~~~~\sqrt[\large 3]{-27}$$\(-27=(-3)^3\) を用いると、$$~=\sqrt[\large 3]{(-3)^3}$$$$~=-3$$よって、答えは \(-3\) となります。

 

問題解説(2)

問題\({\small (2)}\) 次の計算をせよ。$$~{\large ①}~\sqrt[\large 3]{4}\times\sqrt[\large 3]{2}$$$$~{\large ②}~\sqrt[\large 4]{243}\div\sqrt[\large 4]{3}$$$$~{\large ③}~\sqrt[\large 3]{16}+\sqrt[\large 3]{54}$$

$${\large ①}$$$$~~~~~~\sqrt[\large 3]{4}\times\sqrt[\large 3]{2}$$$$~=\sqrt[\large 3]{4\times2}$$$$~=\sqrt[\large 3]{8}$$累乗根の中を素因数分解すると、$$~=\sqrt[\large 3]{2^3}$$$$~=2$$よって、答えは \(2\) となります。
 
【別解】累乗根を指数関数で表すと、$$~~~~~~\sqrt[\large 3]{4}\times\sqrt[\large 3]{2}$$$$~=4^{\large \frac{1}{3}}\times 2^{\large \frac{1}{3}}$$$$~=(2^2)^{\large \frac{1}{3}}\times 2^{\large \frac{1}{3}}$$$$~=2^{\large \frac{2}{3}}\times 2^{\large \frac{1}{3}}$$$$~=2^{{\large \frac{2}{3}}+{\large \frac{1}{3}}}$$$$~=2^1$$$$~=2$$よって、答えは \(2\) となります。
 
$${\large ②}$$$$~~~~~~\sqrt[\large 4]{243}\div\sqrt[\large 4]{3}$$$$~= \sqrt[\large 4]{243\div3}$$$$~= \sqrt[\large 4]{81}$$累乗根の中を素因数分解すると、$$~= \sqrt[\large 4]{3^4}$$$$~=3$$よって、答えは \(3\) となります。
 
【別解】累乗根を指数関数で表すと、$$~~~~~~\sqrt[\large 4]{243}\div\sqrt[\large 4]{3}$$$$~=243^{\large \frac{1}{4}}\div3^{\large \frac{1}{4}}$$$$~=(3^5)^{\large \frac{1}{4}}\div3^{\large \frac{1}{4}}$$$$~=3^{\large \frac{5}{4}}\div3^{\large \frac{1}{4}}$$$$~=3^{{\large \frac{5}{4}}-{\large \frac{1}{4}}}$$$$~=3^1$$$$~=3$$よって、答えは \(3\) となります。
 
$${\large ③}$$$$~~~~~~\sqrt[\large 3]{16}+\sqrt[\large 3]{54}$$累乗根の中を素因数分解すると、$$~=\sqrt[\large 3]{2^4}+\sqrt[\large 3]{2\cdot3^3}$$$$~=\sqrt[\large 3]{2\cdot2^3}+\sqrt[\large 3]{2\cdot3^3}$$$$~=\sqrt[\large 3]{2}\cdot\sqrt[\large 3]{2^3}+\sqrt[\large 3]{2}\cdot\sqrt[\large 3]{3^3}$$$$~=\sqrt[\large 3]{2}\cdot2+\sqrt[\large 3]{2}\cdot3$$$$~=2\sqrt[\large 3]{2}+3\sqrt[\large 3]{2}$$$$~=5\sqrt[\large 3]{2}$$よって、答えは \(5\sqrt[\large 3]{2}\) となります。

 

今回のまとめ

累乗根の計算は、その性質を用いて式変形していき累乗根を外れる形にする方法をおさえておきましょう。

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