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指数法則の基本

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今回の問題は「指数法則の基本」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の値を求めよ。$${\large ①}~3^0~~~~~~~~~{\large ②}~5^{-1}~~~~~~~~~{\large ③}~(0.5)^{-2}$$\({\small (2)}\) 次の計算をせよ。ただし、\(a\neq0\) \(,\) \(b\neq0\) とする。$${\large ①}~a^{-3} a^5\hspace{ 27 pt}{\large ②}~(a^{-2})^{-3}$$$${\large ③}~(ab^{-1})^2\hspace{ 20 pt}{\large ④}~a^{-5}\div a^{-3}$$

 

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指数法則を用いた計算

Point:指数法則\(a\) の \(n\) 乗は \(a\) を \(n\) 個掛け合わせたものを表します。

$$a^n=a\times a\times ~\cdots~\times a$$

\(a\neq0\) で \(n\) が整数のとき、

$$~{\small (1)}~a^0=1~$$$$~{\small (2)}~a^{-n}=\frac{1}{a^n}~$$

また、\(a\neq0\) \(,\) \(b\neq0\) で \(m~,~n\) が整数のとき、

$$~{\small (3)}~a^ma^n=a^{m+n}~$$$$~{\small (4)}~(a^m)^n=a^{mn}~$$$$~{\small (5)}~(ab)^n=a^nb^n~$$$$~{\small (6)}~\frac{a^m}{a^n}=a^m\div a^n=a^{m-n}~$$$$~{\small (7)}~\left( \frac{a}{b} \right)^n=\frac{a^n}{a^n}~$$

 

問題解説:指数法則の基本

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の値を求めよ。$${\large ①}~3^0~~~~~~~~~{\large ②}~5^{-1}~~~~~~~~~{\large ③}~(0.5)^{-2}$$

$${\large ①}$$$$~~~3^0=1$$よって、答えは \(1\) となります。
 
$${\large ②}$$$$~~~5^{-1}$$指数法則より、$$~=\frac{1}{5^1}$$$$~=\frac{1}{5}$$よって、答えは \({\large \frac{1}{5}}\) となりす。
 
$${\large ③}$$\(0.5\) を分数で表すと、$$~~~~~~(0.5)^{-2}$$$$~=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$$指数法則より、$$~=(2^{-1})^{-2}$$$$~=2^{{-1}\times{-2}}$$$$~=2^2$$$$~=4$$よって、答えは \(4\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}\) 次の計算をせよ。ただし、\(a\neq0\) \(,\) \(b\neq0\) とする。$${\large ①}~a^{-3} a^5\hspace{ 27 pt}{\large ②}~(a^{-2})^{-3}$$$${\large ③}~(ab^{-1})^2\hspace{ 20 pt}{\large ④}~a^{-5}\div a^{-3}$$

$${\large ①}$$$$~~~~~~a^{-3}a^5$$指数法則より、$$~=a^{-3+5}$$$$~=a^2$$よって、答えは \(a^2\) となります。
 
$${\large ②}$$$$~~~~~~(a^{-2})^{-3}$$指数法則より、$$~=a^{(-2)\times(-3)}$$$$~=a^6$$よって、答えは \(a^6\) となります。
 
$${\large ③}$$$$~~~~~~(ab^{-1})^2$$指数法則より、$$~=a^2b^{{-1}\times2}$$$$~=a^2b^{-2}$$$$~=a^2\cdot\frac{1}{b^2}$$$$~=\frac{a^2}{b^2}$$よって、答えは \({\large \frac{a^2}{b^2}}\) となります。
 
$${\large ④}$$$$~~~~~~a^{-5}\div a^{-3}$$指数法則より、$$~=a^{-5-(-3)}$$$$~=a^{-5+3}$$$$~=a^{-2}$$$$~=\frac{1}{a^2}$$よって、答えは \({\large \frac{1}{a^2}}\) となります。

 

今回のまとめ

累乗の計算は指数法則を用いて計算していきましょう。また、指数部分が \(0\) や負の数のときの計算をおさえておきましょう。

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