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対数を含む2次式

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今回の問題は「対数を含む2次式」です。

問題次の方程式、不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~2(\log_{2}x)^2+3\log_{2}x-2=0$$$${\small (2)}~(\log_{3}x)^2-\log_{3}x-6≧0$$

 

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対数を含む2次式の解法

Point:対数を含む2次式真数条件を求めます。
\(\log_{a}x=t\) として対数で表された式を \(t\) の2次式とします。
③ \(t\) の2次式として、方程式や不等式を解きます。
④ \(t=\log_{a}x\) と元に戻して、\(x\) の値を求めます。このとき、真数条件に注意しましょう。

 

問題解説:対数を含む2次式

問題解説(1)

問題次の方程式、不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~2(\log_{2}x)^2+3\log_{2}x-2=0$$

真数条件より、\(x>0\) となります。
 
与えられた式を \(\log_{2}x=t\) と置き換えると、$$\hspace{ 10 pt}2t^2+3t-2=0$$たすき掛けの表より、

よって、左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(2t-1)(t+2)=0$$$$\hspace{ 60 pt}t=\frac{1}{2}~,~-2$$
 
ここで \(t={\large \frac{1}{2}}\) のとき、\(t=\log_{2}x\) より、$$\hspace{ 10 pt}\log_{2}x=\frac{1}{2}$$両辺を同じ底の対数で表すと、$$\hspace{ 10 pt}\log_{2}x=\log_{2}2^{\large \frac{1}{2}}$$真数部分のみを比較すると、$$\hspace{ 10 pt}x=2^{\large \frac{1}{2}}$$$$\hspace{ 19 pt}=\sqrt{2}$$
 
次に \(t=-2\) のとき、\(t=\log_{2}x\) より、$$\hspace{ 10 pt}\log_{2}x=-2$$両辺を同じ底の対数で表すと、$$\hspace{ 10 pt}\log_{2}x=\log_{2}2^{-2}$$真数部分のみを比較すると、$$\hspace{ 10 pt}x=2^{-2}$$$$\hspace{ 19 pt}=\frac{1}{4}$$
 
これらは真数条件 \(x>0\) を満たします。
よって、答えは$$~~~x=\sqrt{2}~,~\frac{1}{4}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の方程式、不等式の解を求めよ。 $${\small (2)}~(\log_{3}x)^2-\log_{3}x-6≧0$$

真数条件より、\(x>0\) となります。
 
与えられた式を \(\log_{3}x=t\) と置き換えると、$$\hspace{ 10 pt}t^2-t-6≧0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(t+2)(t-3)≧0$$左辺を \(y\) としたグラフは次のようになります。

よって、解は$$\hspace{ 10 pt}t≦-2~,~3≦t$$
 
ここで \(t≦-2\) のとき、\(t=\log_{3}x\) より、$$\hspace{ 10 pt}\log_{3}x≦-2$$両辺を同じ底の対数で表すと、$$\hspace{ 10 pt}\log_{3}x≦\log_{3}3^{-2}$$底が \(1<3\) より、真数部分のみを比較すると不等号の向きはそのままなので、$$\hspace{ 10 pt}x≦3^{-2}$$$$\hspace{ 10 pt}x≦\frac{1}{9}$$
 
次に \(3≦t\) のとき、\(t=\log_{3}x\) より、$$\hspace{ 10 pt}3≦\log_{3}x$$両辺を同じ底の対数で表すと、$$\hspace{ 10 pt}\log_{3}3^3≦\log_{3}x$$底が \(1<3\) より、真数部分のみを比較すると不等号の向きはそのままなので、$$\hspace{ 10 pt}3^3≦x$$$$\hspace{ 10 pt}27≦x$$
 
これらと、真数条件 \(x>0\) を数直線上に表すと、

 
よって、答えは$$~~~0<x≦\frac{1}{9}~,~27≦x$$となります。

 

今回のまとめ

対数を含む2次式は、置き換えを行い \(t\) の2次次として解きましょう。また、真数条件を忘れないようにしましょう。

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