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対数を含む関数の最大値・最小値

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今回の問題は「対数を含む関数の最大値・最小値」です。

問題次の関数の最大値と最小値を求めよ。$$~~~y=2\log_{2}x-(\log_{2}x)^2~~~(1≦x≦8)$$

 

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対数を含む関数の最大値・最小値の解法

Point:対数を含む関数の最大値・最小値解法の手順は、
真数条件を求めます。
② \(\log_{a}x=t\) として、\(t\) の2次関数とします。
③ \(x\) の定義域より、対数をとって \(t\) の値の範囲を求めます。
④ \(t\) の2次関数を平方完成し、\(t\) の範囲での最大値と最小値を求めます。
⑤ 最大値と最小値をとる \(t\) の値を \(t=\log_{a}x\) より \(x\) の値に戻します。

 

問題解説:対数を含む関数の最大値・最小値

問題次の関数の最大値と最小値を求めよ。$$~~~y=2\log_{2}x-(\log_{2}x)^2~~~(1≦x≦8)$$

\(x\) の定義域が \(1≦x≦8\) より、真数条件を満たします。
\(\log_{2}x=t\) とすると、\(x\) の定義域が$$~~~1≦x≦8$$であるので、これに底が \(2\) の対数をとると、$$\hspace{ 15 pt}\log_{2}1≦\log_{2}x≦\log_{2}8$$$$\hspace{ 10 pt}\log_{2}2^0≦\log_{2}x≦\log_{2}2^3$$$$\hspace{ 34 pt}0≦\log_{2}x≦3$$\(\log_{2}x=t\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}0≦t≦3~~~\cdots{\large ①}$$
 
与えられた関数は、\(\log_{2}x=t\) と置き換えると、$$\hspace{ 10 pt}y=2t-t^2~~~\cdots{\large ②}$$これを平方完成すると、$$\hspace{ 10 pt}y=-t^2+2t$$$$\hspace{ 18 pt}=-(t^2-2t)$$$$\hspace{ 18 pt}=-(t^2-2t+1-1)$$$$\hspace{ 18 pt}=-(t^2-2t+1)+1$$$$\hspace{ 18 pt}=-(t-1)^2+1$$これより、頂点が \((1~,~1)\) で定義域が \(0≦t≦3\) の上に凸のグラフとなるので、

このグラフより、
\(t=1\) のとき最大値、\(t=3\) のとき最小値をとる。
 
\(t=1\) のとき、\(t=\log_{2}x\) より、$$\hspace{ 10 pt}\log_{2}x=1$$両辺を同じ底の対数で表すと、$$\hspace{ 10 pt}\log_{2}x=\log_{2}2$$真数部分のみを比較すると、$$\hspace{ 10 pt}x=2$$このときに、頂点の \(y\) 座標の \(1\) が最大値となります。
 
また、\(t=3\) のとき、\(\log_{2}x=t\) より、$$\hspace{ 10 pt}\log_{2}x=3$$両辺を同じ底の対数で表すと、$$\hspace{ 10 pt}\log_{2}x=\log_{2}2^3$$真数部分のみを比較すると、$$\hspace{ 10 pt}x=2^3$$$$\hspace{ 19 pt}=8$$このとき、②の式に \(t=3\) を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}y=2\cdot3-3^2$$$$\hspace{ 18 pt}=6-9$$$$\hspace{ 18 pt}=-3$$よって、最小値 \(-3\) となります。
 
したがって、答えは
 \(x=2\) のとき、最大値 \(1\)
 \(x=8\) のとき、最小値 \(-3\)
となります。

 

今回のまとめ

最大値と最小値を求める問題でも、2次式となるときは \(t=\log_{a}x\) と置き換えて考えましょう。また、\(x\) の値に戻すのを忘れないように!

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