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対数の大小比較

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今回の問題は「対数の大小比較」です。

問題次の各数値を小さい順に並べよ。$${\small (1)}~\log_{0.2}30~,~\log_{0.2}3~,~\log_{0.2}0.3$$$${\small (2)}~3+\log_{3}2~,~2\log_{3}8~,~4$$

 

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対数の大小比較の方法

Point:対数の大小比較底の値 \(a\) で場合分けをします。
( ⅰ ) \(a>1\) のとき、
\(y=\log_{a}x\) のグラフを考えると、\(x\) が増加すると \(y\) も増加します。よって、

$$0<p<q~\Leftrightarrow~\log_{a}p<\log_{a}q$$

不等号の向きはそのままになります。
 
( ⅱ ) \(0<a<1\) のとき、
\(y=\log_{a}x\) のグラフを考えると、\(x\) が増加すると \(y\) は減少します。よって、

$$0<p<q~\Leftrightarrow~\log_{a}p>\log_{a}q$$

不等号の向きは逆になります。
 
解法の手順は、
① 与えられた値をすべて同じ底の対数を用いて表します。
真数部分のみの大小関係を調べます。
③ 底の値に注意して、対数の大小関係を表します。
④ 対数を問題の形に戻して答え出します。

 

問題解説:対数の大小比較

問題解説(1)

問題次の各数値を小さい順に並べよ。$${\small (1)}~\log_{0.2}30~,~\log_{0.2}3~,~\log_{0.2}0.3$$

真数部分のみを比較すると、$$~~~0.3<3<30$$ここで、底が \(0<0.2<1\) であるので、対数の大小関係は真数部分の大小関係と逆になるので、$$~~~\log_{0.2}0.3>\log_{0.2}3>\log_{0.2}30$$よって、答えは$$~~~\log_{0.2}30<\log_{0.2}3<\log_{0.2}0.3$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の各数値を小さい順に並べよ。 $${\small (2)}~3+\log_{3}2~,~2\log_{3}8~,~4$$

それぞれの値を底が \(3\) の対数で表すと、$$~~~~~~3+\log_{3}2$$$$~=3\cdot\log_{3}3+\log_{3}2$$$$~=\log_{3}3^3+\log_{3}2$$$$~=\log_{3}27+\log_{3}2$$対数のたし算は真数のかけ算より、$$~=\log_{3}(2\times27)$$$$~=\log_{3}54$$
次に、$$~~~~~~2\log_{3}8$$$$~=\log_{3}8^2$$$$~=\log_{3}64$$
次に、$$~~~~~~4$$$$~=4\cdot\log_{3}3$$$$~=\log_{3}3^4$$$$~=\log_{3}81$$
よって、この3数の真数部分を比較すると、$$~~~54<64<81$$底が \(3\) の対数であるので、真数部分の大小関係と対数の大小関係は一致するので、$$~~~\log_{3}54<\log_{3}64<\log_{3}81$$よって、答えは$$~~~3+\log_{3}2<2\log_{3}8<4$$となります。

 

今回のまとめ

対数の大小比較の問題では、同じ底の対数の形にしてから考えましょう。また、底が \(0<a<1\) のときは真数部分の大小関係と逆になることに注意しましょう。

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