対数の大小比較の方法
( ⅰ ) \(a>1\) のとき、
\(y=\log_{a}x\) のグラフを考えると、\(x\) が増加すると \(y\) も増加します。よって、
不等号の向きはそのままになります。
( ⅱ ) \(0<a<1\) のとき、
\(y=\log_{a}x\) のグラフを考えると、\(x\) が増加すると \(y\) は減少します。よって、
不等号の向きは逆になります。
解法の手順は、
① 与えられた値をすべて同じ底の対数を用いて表します。
② 真数部分のみの大小関係を調べます。
③ 底の値に注意して、対数の大小関係を表します。
④ 対数を問題の形に戻して答え出します。
問題解説：対数の大小比較
問題解説(1)
真数部分のみを比較すると、$$~~~0.3<3<30$$ここで、底が \(0<0.2<1\) であるので、対数の大小関係は真数部分の大小関係と逆になるので、$$~~~\log_{0.2}0.3>\log_{0.2}3>\log_{0.2}30$$よって、答えは$$~~~\log_{0.2}30<\log_{0.2}3<\log_{0.2}0.3$$となります。
問題解説(2)
それぞれの値を底が \(3\) の対数で表すと、$$~~~~~~3+\log_{3}2$$$$~=3\cdot\log_{3}3+\log_{3}2$$$$~=\log_{3}3^3+\log_{3}2$$$$~=\log_{3}27+\log_{3}2$$対数のたし算は真数のかけ算より、$$~=\log_{3}(2\times27)$$$$~=\log_{3}54$$
次に、$$~~~~~~2\log_{3}8$$$$~=\log_{3}8^2$$$$~=\log_{3}64$$
次に、$$~~~~~~4$$$$~=4\cdot\log_{3}3$$$$~=\log_{3}3^4$$$$~=\log_{3}81$$
よって、この３数の真数部分を比較すると、$$~~~54<64<81$$底が \(3\) の対数であるので、真数部分の大小関係と対数の大小関係は一致するので、$$~~~\log_{3}54<\log_{3}64<\log_{3}81$$よって、答えは$$~~~3+\log_{3}2<2\log_{3}8<4$$となります。
今回のまとめ
対数の大小比較の問題では、同じ底の対数の形にしてから考えましょう。また、底が \(0<a<1\) のときは真数部分の大小関係と逆になることに注意しましょう。
