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指数方程式

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今回の問題は「指数方程式」です。

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (1)}~3^{2x}=27^{1-x}$$$${\small (2)}~25^x=\frac{1}{125}$$$${\small (3)}~8^x=\sqrt[\large 3]{16}$$$${\small (4)}~9^x=\sqrt[\large 4]{27}$$

 

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指数方程式の解法

Point:指数方程式解法の手順は、
① 両辺とも、同じ底の累乗の形に式変形します。
指数部分のみを比較して解を求めます。
\(a>0~,~a\neq1\) のとき、

$$a^x=a^y~\Leftrightarrow~x=y$$

 

問題解説:指数方程式

問題解説(1)

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (1)}~3^{2x}=27^{1-x}$$

$$\hspace{ 10 pt}3^{2x}=27^{1-x}$$\(27=3^3\) より、$$\hspace{ 10 pt}3^{2x}=(3^3)^{1-x}$$$$\hspace{ 10 pt}3^{2x}=3^{3(1-x)}$$$$\hspace{ 10 pt}3^{2x}=3^{3-3x}$$両辺の指数部分のみを比較すると、$$\hspace{ 10 pt}2x=3-3x$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2x+3x=3$$$$\hspace{ 33 pt}5x=3$$両辺を \(5\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}x=\frac{3}{5}$$
よって、答えは$$~~~x=\frac{3}{5}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の方程式の解を求めよ。 $${\small (2)}~25^x=\frac{1}{125}$$

$$\hspace{ 10 pt}25^x=\frac{1}{125}$$\(25=5^2~,~125=5^3\) より、$$\hspace{ 10 pt}(5^2)^x=\frac{1}{5^3}$$分数を累乗の形で表すと、$$\hspace{ 10 pt}5^{2x}=(5^3)^{-1}$$$$\hspace{ 10 pt}5^{2x}=5^{-3}$$指数部分のみを比較すると、$$\hspace{ 10 pt}2x=-3$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}x=-\frac{3}{2}$$
よって、答えは$$~~~x=-\frac{3}{2}$$となります。

 

問題解説(3)

問題次の方程式の解を求めよ。 $${\small (3)}~8^x=\sqrt[\large 3]{16}$$

$$\hspace{ 10 pt}8^x=\sqrt[\large 3]{16}$$\(8=2^3~,~16=2^4\) と \(3\) 乗根を累乗の形で表すと、$$\hspace{ 10 pt}(2^3)^x=(2^4)^{\large \frac{1}{3}}$$$$\hspace{ 18 pt}2^{3x}=2^{\large \frac{4}{3}}$$指数部分のみを比較すると、$$\hspace{ 10 pt}3x=\frac{4}{3}$$両辺を \(3\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}x=\frac{4}{9}$$
よって、答えは$$~~~x=\frac{4}{9}$$となります。

 

問題解説(4)

問題次の方程式の解を求めよ。 $${\small (4)}~9^x=\sqrt[\large 4]{27}$$

$$\hspace{ 10 pt}9^x=\sqrt[\large 4]{27}$$\(9=3^2~,~27=3^3\) と \(4\) 乗根を累乗の形で表すと、$$\hspace{ 10 pt}(3^2)^x=(3^3)^{\large \frac{1}{4}}$$$$\hspace{ 18 pt}3^{2x}=3^{\large \frac{3}{4}}$$指数部分のみを比較すると、$$\hspace{ 10 pt}2x=\frac{3}{4}$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}x=\frac{3}{8}$$
よって、答えは$$~~~x=\frac{3}{8}$$となります。

 

今回のまとめ

指数方程式の解は、両辺を同じ底の累乗の形にして指数部分のみを比較して解きましょう。

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