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指数の大小比較

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今回の問題は「指数の大小比較」です。

問題次の各数値を小さい順に並べよ。$${\small (1)}~\sqrt{8}~,~\sqrt[\large 3]{2}~,~4^{\large \frac{1}{4}}~,~\sqrt[\large 4]{32}$$$${\small (2)}~\left( \frac{1}{5} \right)^{-{\large \frac{1}{2}}}~,~ \left( \frac{1}{5} \right)^0~,~ \left( \frac{1}{5} \right)^3$$

 

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指数の大小比較の方法

Point:指数の大小比較(1) 底が \(a>1\) のとき
\(y=a^x\) のグラフを考えると、\(x\) が増加すると \(y\) も増加します。よって、

$$p<q~\Leftrightarrow~a^p<a^q$$

不等号の向きはそのままとなります。
 
(2) 底が \(0<a<1\) のとき
\(y=a^x\) のグラフを考えると、\(x\) が増加すると \(y\) は減少します。よって、

$$p<q~\Leftrightarrow~a^p>a^q$$

不等号の向きが逆になります。
 
解法の手順は、
① 与えられた数値をすべて同じ底の累乗の形で表します。
指数部分のみで大小関係を調べます。
底の値に注意して、累乗の形の大小関係を表します。
④ 累乗の形を問題文の形に戻して答えを出します。

 

問題解説:指数の大小比較

問題解説(1)

問題次の各数値を小さい順に並べよ。$${\small (1)}~\sqrt{8}~,~\sqrt[\large 3]{2}~,~4^{\large \frac{1}{4}}~,~\sqrt[\large 4]{32}$$

それぞれの式を \(a^x\) の形に式変形していくと、$$~~~\sqrt{8}=(2^3)^{\large \frac{1}{2}}=2^{3\times{\large \frac{1}{2}}}=2^{\large \frac{3}{2}}$$$$~~~\sqrt[\large 3]{2}=2^{\large \frac{1}{3}}$$$$~~~4^{\large \frac{1}{2}}=(2^2)^{\large \frac{1}{2}}=2^{2\times{\large \frac{1}{2}}}=2^1$$$$~~~\sqrt[\large 4]{32}=(2^5)^{\large \frac{1}{4}}=2^{5\times{\large \frac{1}{4}}}=2^{\large \frac{5}{4}}$$ここで、指数部分のみで大小関係を表すと、$$~~~\frac{1}{3}<1<\frac{5}{4}<\frac{3}{2}$$したがって、底が \(2\) より大小関係はそのままなので、$$~~~2^{\large \frac{1}{3}}<2^1<2^{\large \frac{5}{4}}<2^{\large \frac{3}{2}}$$となります。
よって、答えは$$~~~\sqrt[\large 3]{2}<4^{\large \frac{1}{2}}<\sqrt[\large 4]{32}<\sqrt{8}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の各数値を小さい順に並べよ。 $${\small (2)}~\left( \frac{1}{5} \right)^{-{\large \frac{1}{2}}}~,~ \left( \frac{1}{5} \right)^0~,~ \left( \frac{1}{5} \right)^3$$

指数部分のみで大小関係を表すと、$$~~~-\frac{1}{2}<0<3$$ここで、底が \({\large \frac{1}{5}}\) で大小関係が逆になるので、$$~~~ \left( \frac{1}{5} \right)^{-{\large \frac{1}{2}}}> \left( \frac{1}{5} \right)^0> \left( \frac{1}{5} \right)^3$$よって、答えは$$~~~ \left( \frac{1}{5} \right)^3<\left( \frac{1}{5} \right)^0<\left( \frac{1}{5} \right)^{-{\large \frac{1}{2}}}$$となります。

 

今回のまとめ

指数の大小比較問題は、同じ底の累乗の形に統一して考えることと、底が \(0<a<1\) のときは大小関係が逆になる点をおさえておきましょう。

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