直方体の計量

直方体の計量
問題解説:直方体の計量
今回のまとめ

直方体の計量

Point：直方体の計量立体図形の基本解法は、
「必要な部分を平面図形として抜き出して考える」
これが重要となります。

直方体の内部の三角錐の体積は、２通りの方法で求めることができます。

上の直方体について、三角錐 ${\rm BAFC}$ の体積 $V$ は、
( ⅰ ) $\triangle {\rm ABC}$ を底面とすると、

$$V=\frac{1}{3}\cdot{\rm BF}\cdot\triangle {\rm ABC}$$

( ⅱ ) $\triangle {\rm AFC}$ を底面とすると、
点 ${\rm B}$ から $\triangle {\rm AFC}$ に下ろした垂線を ${\rm BI}$ とすると、

$$V=\frac{1}{3}\cdot{\rm BI}\cdot\triangle {\rm AFC}$$

この２通りを用いて計算しましょう。

問題解説:直方体の計量

問題解説(1)

問題直方体 ${\rm ABCDEFGH}$ について以下の条件のとき、次の問いに答えよ。$$~~~{\rm AB}=1~,~{\rm AD}=\sqrt{6}~,~{\rm AE}=\sqrt{3}$$${\small (1)}$ $\angle{\rm AFC}$

与えられた図形は次のようになります。

ここで長方形 ${\rm DABC}$ を考えると、

これより、三平方の定理を用いると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AC}^2=(\sqrt{6})^2+1^2$$$$\hspace{ 31 pt}=6+1$$$$\hspace{ 31 pt}=7$$ここで、${\rm AC}>0$ より、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AC}=\sqrt{7}~~\cdots{\large ①}$$

次に長方形 ${\rm AEFB}$ を考えると、

これより、三平方の定理を用いると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AF}^2=(\sqrt{3})^2+1^2$$$$\hspace{ 31 pt}=3+1$$$$\hspace{ 31 pt}=4$$ここで、${\rm AF}>0$ より、$$\hspace{ 10 pt}{\rm AF}=2~~\cdots{\large ②}$$

次に長方形 ${\rm BFGC}$ を考えると、

これより、三平方の定理を用いると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm CF}^2=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{6})^2$$$$\hspace{ 30 pt}=3+16$$$$\hspace{ 30 pt}=9$$ここで、${\rm CF}>0$ より、$$\hspace{ 10 pt}{\rm CF}=3~~\cdots{\large ③}$$

次に $\triangle {\rm AFC}$ を考えると、
①〜③より、次のようになります。

また、$\angle{\rm AFC}=\theta$ として、
$\cos{\theta}$ において余弦定理を用いると、$$\hspace{ 10 pt}(\sqrt{7})^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cdot\cos{\theta}$$$$\hspace{ 30 pt}7=4+9-12\cos{\theta}$$$$\hspace{ 30 pt}7=13-12\cos{\theta}$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}12\cos{\theta}=13-7$$$$\hspace{ 10 pt}12\cos{\theta}=6$$両辺を $12$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\theta}=\frac{6}{12}$$$$\hspace{ 32 pt}=\frac{1}{2}$$単位円上に表すと、

よって、答えは$$~~~\theta=60^\circ$$となります。

問題解説(2)

問題直方体 ${\rm ABCDEFGH}$ について以下の条件のとき、次の問いに答えよ。$$~~~{\rm AB}=1~,~{\rm AD}=\sqrt{6}~,~{\rm AE}=\sqrt{3}$$${\small (2)}$ $\triangle {\rm AFC}$ の面積

$\triangle {\rm AFC}$ は値を書き入れると、次のようになります。

$\triangle {\rm AFC}$ の面積を $S$ とすると、$$\hspace{ 10 pt}S=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3\cdot\sin{60^\circ}$$$$\hspace{ 20 pt}=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\hspace{ 20 pt}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$よって、答えは$$~~~S=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$となります。

問題解説(3)

問題直方体 ${\rm ABCDEFGH}$ について以下の条件のとき、次の問いに答えよ。$$~~~{\rm AB}=1~,~{\rm AD}=\sqrt{6}~,~{\rm AE}=\sqrt{3}$$${\small (3)}$ 三角錐 ${\rm BAFC}$ の体積

三角錐 ${\rm BAFC}$ は $\triangle {\rm ABC}$ を底面と考えると、高さが ${\rm BF}$ の三角錐となります。

$\triangle {\rm ABC}$ の面積は、

図より、$$\hspace{ 10 pt}\frac{1}{2}\cdot\sqrt{6}\cdot1=\frac{\sqrt{6}}{2}$$また、高さ ${\rm BF}$ は、$$\hspace{ 10 pt}{\rm BF}={\rm AE}=\sqrt{3}$$
したがって、三角錐 ${\rm BAFC}$ の体積 $V$ は、$$\hspace{ 10 pt}V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}\cdot\sqrt{3}$$$$\hspace{ 20 pt}=\frac{3\sqrt{2}}{6}$$$$\hspace{ 20 pt}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$よって、答えは$$~~~V=\frac{\sqrt{2}}{2}$$となります。

問題解説(4)

問題直方体 ${\rm ABCDEFGH}$ について以下の条件のとき、次の問いに答えよ。$$~~~{\rm AB}=1~,~{\rm AD}=\sqrt{6}~,~{\rm AE}=\sqrt{3}$$${\small (4)}$ 点 ${\rm B}$ から平面 ${\rm AFC}$ へ下ろした垂線 ${\rm BI}$ の長さ

$\triangle {\rm AFC}$ を底面としたとき、三角錐 ${\rm BAFC}$ の体積 $V$ は、
$$\hspace{ 10 pt}V=\frac{1}{3}\cdot\triangle {\rm AFC}\cdot{\rm BI}$$ここで、(2)の答えより$$~~~\triangle {\rm AFC}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$(3)の答えより、$$~~~V=\frac{\sqrt{2}}{2}$$これらを代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot{\rm BI}$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot{\rm BI}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$$\hspace{ 31 pt}\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot{\rm BI}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$両辺を ${\Large \frac{2}{\sqrt{3}}}$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}{\rm BI}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$よって、答えは$$~~~{\rm BI}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$となります。