- 数学Ⅱ｜式と証明「多項定理を用いた展開式の項の係数」の基本例題解説ページです。
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問題｜多項定理を用いた展開式の項の係数
式と証明 14☆\((x-2y+z)^7\) の展開式における \(x^2y^3z^2~,~\)\(x^3y^3z~,~\)\(x^2y^5\) の項の係数の多項定理を用いた求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
多項定理を用いた展開式の項の係数
Point：多項定理を用いた展開式の項の係数
\(\displaystyle\frac{\,n!\,}{\,p!\cdot q!\cdot r!\,}\,a^p b^q c^r\)
（ ただし、\(p+q+r=n\) ）
\((a+b+c)^n\) の展開式の一般項は、
\(\displaystyle\frac{\,n!\,}{\,p!\cdot q!\cdot r!\,}\,a^p b^q c^r\)
（ ただし、\(p+q+r=n\) ）
※ 係数を求めるときは、\(a~,~b~,~c\) の係数にも注意する。
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詳しい解説｜多項定理を用いた展開式の項の係数
式と証明 14☆
\((x-2y+z)^7\) の展開式における \(x^2y^3z^2~,~\)\(x^3y^3z~,~\)\(x^2y^5\) の項の係数の多項定理を用いた求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
\((x-2y+z)^7\) の展開式の \(x^2y^3z^2\) の係数は、\(x\) が2つ、\(-2y\) が3つ、\(z\) が2つであるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,7!\,}{\,2!\cdot 3!\cdot 2!\,}\cdot x^2\cdot (-2y)^3\cdot z^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\,}{\,2\cdot 1\cdot 2\cdot 1\,}\cdot x^2\cdot (-8y^3)\cdot z^2
\\[5pt]~~~&=&7\cdot 6\cdot 5\cdot (-8)\cdot x^2y^3z^2
\\[3pt]~~~&=&-1680~x^2y^3z^2\end{eqnarray}\)
したがって、係数は \(-1680\)
\((x-2y+z)^7\) の展開式の \(x^3y^3z\) の係数は、\(x\) が3つ、\(-2y\) が3つ、\(z\) が1つであるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,7!\,}{\,3!\cdot 3!\cdot 1!\,}\cdot x^3\cdot (-2y)^3\cdot z^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\,}{\,3\cdot 2\cdot 1\,}\cdot x^3\cdot (-8y^3)\cdot z
\\[5pt]~~~&=&7\cdot 5\cdot 4\cdot (-8)\cdot x^3y^3z
\\[3pt]~~~&=&-1120~x^3y^3z\end{eqnarray}\)
したがって、係数は \(-1120\)
\((x-2y+z)^7\) の展開式の \(x^2y^5\) の係数は、\(x\) が2つ、\(-2y\) が5つ、\(z\) がないので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,7!\,}{\,2!\cdot 5!\,}\cdot x^2\cdot (-2y)^5\cdot z^0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,7\cdot 6\,}{\,2\cdot 1\,}\cdot x^2\cdot (-32y^5)
\\[5pt]~~~&=&7\cdot 3\cdot (-32)\cdot x^2y^5
\\[3pt]~~~&=&-672~x^2y^5\end{eqnarray}\)
したがって、係数は \(-672\)
