- 数学Ⅱ｜式と証明「通分が必要な分数式の加法・減法」の基本例題解説ページです。
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問題｜通分が必要な分数式の加法・減法
式と証明 25分数式 \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x-2\,}+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x+3\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,x^2+x-2\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x^2-x\,}\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
通分が必要な分数式の加法・減法
Point：通分が必要な分数式の加法・減法
① 分母をそれぞれ因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,(x+2)(x-1)\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x(x-1)\,}\end{eqnarray}\)
② 分母が等しい多項式となるように通分する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2+5x\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}-\displaystyle\frac{\,2x+4\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}
\end{eqnarray}\)
③ 分子の和・差を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2+3x-4\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}
\end{eqnarray}\)
④ 計算結果がさらに約分できないか確認する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+4)(x-1)\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}=\displaystyle\frac{\,x+4\,}{\,x(x+2)\,}\end{eqnarray}\)
分母が異なる分数式の加法・減法は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,x^2+x-2\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x^2-x\,}\end{eqnarray}\)
① 分母をそれぞれ因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,(x+2)(x-1)\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x(x-1)\,}\end{eqnarray}\)
② 分母が等しい多項式となるように通分する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2+5x\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}-\displaystyle\frac{\,2x+4\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}
\end{eqnarray}\)
③ 分子の和・差を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2+3x-4\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}
\end{eqnarray}\)
④ 計算結果がさらに約分できないか確認する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+4)(x-1)\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}=\displaystyle\frac{\,x+4\,}{\,x(x+2)\,}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜通分が必要な分数式の加法・減法
式と証明 25
分数式 \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x-2\,}+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x+3\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,x^2+x-2\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x^2-x\,}\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
分母が等しい多項式になるように、左の分数式には \((x+3)\) を、右の分数式には \((x-2)\) と、分母分子に掛けて通分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x-2\,}+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x-2\,}\cdot\displaystyle\frac{\,x+3\,}{\,x+3\,}+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x+3\,}\cdot\displaystyle\frac{\,x-2\,}{\,x-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2x+6\,}{\,(x-2)(x+3)\,}+\displaystyle\frac{\,3x-6\,}{\,(x+3)(x-2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2x+6+3x-6\,}{\,(x-2)(x+3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,5x\,}{\,(x-2)(x+3)\,}\end{eqnarray}\)
分母をそれぞれ因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,x^2+x-2\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x^2-x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,(x+2)(x-1)\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x(x-1)\,}\end{eqnarray}\)
分母が等しい多項式になるように、左の分数式には \(x\) を、右の分数式には \((x+2)\) と、分母分子に掛けて通分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,(x+2)(x-1)\,}\cdot\displaystyle\frac{\,x\,}{\,x\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x(x-1)\,}\cdot\displaystyle\frac{\,x+2\,}{\,x+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2+5x\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}-\displaystyle\frac{\,2x+4\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x^2+5x)-(2x+4)\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2+3x-4\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2+5x\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}-\displaystyle\frac{\,2x+4\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x^2+5x)-(2x+4)\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2+3x-4\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}\end{eqnarray}\)
分子を因数分解して約分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+4)(x-1)\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x+4\,}{\,x(x+2)\,}\end{eqnarray}\)
